Тип 18 № 20593

Решение:

$$(*) \begin{cases} 3x - a > 0 \\ 4x + a > 0 \\ 5x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{5x - 3}\left(\ln(3x - a) - \ln(4x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{5x - 3} = 0 \\ &\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{5x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{5}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$:

$$\begin{cases} \tfrac{9}{5} - a > 0 \\ \tfrac{12}{5} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{9}{5}\\ a > -\tfrac{12}{5} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{12}{5}; \frac{9}{5}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \Rightarrow 3x - a = 4x + a \Rightarrow x = -2a$$ Проверим условия: $$\begin{cases} 4x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\\ 5x -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1\\ 5(-2a) -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -7a > 0 \\ 0 \geq a \geq -\frac{1}{2}\\ a \leq -\frac{3}{10} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{10}\right]$$

Замечание: одно из условий $3x - a$ или $4x + a$ можно опустить для этого корня при проверке, так как для решения уравнения $\ln(3x - a) = \ln(4x + a)$ достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них.

Проверим совпадение корней: $$\frac{3}{5} = -2a \Rightarrow a = -\frac{3}{10}$$

Пересекая значения параметра $a$, при которых $x = \tfrac{3}{5}$ и $x = -2a$ являются корнями уравнения, мы получим значения параметра, при которых исходное уравнение имеет два корня на отрезке $[0; 1]$, что нам не подходит, соответственно в ответ мы возьмём только те значения параметра, при которых ровно $1$ корень является решением уравнения, с учётом совпадения корней при $a = -\tfrac{3}{10}$:

$$a \in \left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$.