Тип 15 № 20666

Решение:

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда: $$8^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4t^3,\quad 4^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2t^2,\quad 2^{x+1} = 2t.$$

Подставим в неравенство: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Разложим знаменатель: $$2t^2 - 9t + 4 = (2t-1)(t-4).$$

Выполним деление числителя на знаменатель с остатком: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} = 2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)}.$$

Тогда неравенство принимает вид: $$2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Сокращаем $2t$ и переносим всё в левую часть: $$\frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} + \frac{1}{t-2} - \frac{3}{2t-1} \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю $(2t-1)(t-4)(t-2)$: $$\frac{(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Упрощаем числитель: $$(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2) = 2(2t-1)(t-3).$$

Получаем: $$\frac{2(2t-1)(t-3)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Сокращаем на $2t-1$ (при $t \neq \frac12$): $$\frac{2(t-3)}{(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Так как $2 > 0$, знак определяется дробью: $$\frac{t-3}{(t-2)(t-4)} \leq 0.$$

Решаем методом интервалов с учётом $t > 0$ и $t \neq \frac12$.

Получаем: $$t \in (0; \tfrac12) \cup (\tfrac12; 2) \cup [3; 4).$$

Возвращаемся к $2^x = t$: $$\begin{cases} 0 < t < \frac12 \quad\Rightarrow\quad x < -1, \\ \frac12 < t < 2 \quad\Rightarrow\quad -1 < x < 1, \\ 3 \le t < 4 \quad\Rightarrow\quad \log_2 3 \le x < 2. \end{cases}$$

$$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2).$$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)$.