Задание 17: Описанные окружности — ЕГЭ по математике

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$ , причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$ . Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$ . Найдите $AL$ , если радиус большей окружности равен $34$ , а $BC = 32$ .

Решение:

Решение: а)

Пусть $O_1$ -- центр малой окружности, а $O$ -- центр большей окружности. Точка $A$ лежит на прямой $OO_1$ . Поэтому $OA$ -- диаметр малой окружности. Рассмотрим треугольник $AOK$ . Он вписан в малую окружность, причём угол $K$ -- прямой, так как опирается на диаметр $OA$ , откуда следует, что $OK \perp AB$ .

Рассмотрим треугольник $OBA$ . Он равнобедренный, так как $OB = OA$ как радиусы большей окружности. Значит, $OK$ -- высота, медиана и биссектриса этого треугольника, откуда $BK = AK$ .

Аналогичным образом получаем $AM = MC$ .

Рассмотрим треугольник $ABC$ . В нём отрезок $KM$ -- средняя линяя, так как соединяет середины сторон треугольника, откуда следует, что $KM \parallel BC$ , что и требовалось доказать.

б)

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду $BC$ . Тогда $BH = HC$ .

Из прямоугольного треугольника $OBH$ по теореме Пифагора: $OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30.$

Так как $O_1P$ — радиус, проведённый к точке касания, то $O_1P \perp BC$ , откуда $OH \parallel O_1P$ . Опустим перпендикуляр $O_1T$ на $OH$ .

Радиус меньшей окружности равен половине радиуса большей, так как меньшая проходит через центр большей: $O_1P = \frac{OA}{2} = \frac{34}{2} = 17.$ Расстояние между центрами: $OO_1 = OA - O_1A = 34 - 17 = 17.$

Найдём отрезок $OT$ : $OT = OH - TH = OH - O_1P = 30 - 17 = 13.$

Из прямоугольного треугольника $OO_1T$ : $TO_1^2 = OO_1^2 - OT^2 = 17^2 - 13^2 = 289 - 169 = 120.$ Так как $PH = TO_1$ , то $PH^2 = 120$ .

Из прямоугольного треугольника $OPH$ : $OP^2 = OH^2 + HP^2 = 30^2 + 120 = 900 + 120 = 1020.$

В треугольнике $AOP$ угол $APO$ — прямой, так как $OA$ — диаметр меньшей окружности, а точка $P$ лежит на меньшей окружности. Следовательно, $PA = \sqrt{OA^2 - OP^2} = \sqrt{34^2 - 1020} = \sqrt{1156 - 1020} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}.$

Так как $L$ лежит на $KM \parallel BC$ , а $M$ — середина $AC$ , то $LM$ — средняя линия треугольника $APC$ . Значит, $AL = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{34} = \sqrt{34}.$

$\boxed{AL = \sqrt{34}}$

Ответ: a) $KM \parallel BC$ ; б) $\sqrt{34}$

Источник: ЕГЭ · Математика · Досрочная волна. ФИПИ 2023