Описанные окружности

Проведём радиусы $AO$ и $BO$. Центральный угол $AOB = 60^\circ$ так как опирается на ту же дугу что и угол $ACB = 30^\circ$. Следовательно треугольник $AOB$ – равносторонний и $AO = BO = AB = R = 3$.

Проведём радиусы $AO$ и $BO$. Полученный треугольник $ABO$ равносторонний, так как $AO = BO = AB$, следовательно центральный угол $AOB$ равен $60^\circ$.

Тогда по свойствам вписанного угла, угол $ACB$ равен $30^\circ$.

Проведём радиусы $AO$ и $BO$. Треугольник $ABO$ – равносторонний, так как $AO = BO = AB = R$. Следовательно угол $AOB$ равен $60^\circ$.

Рассмотрим четырёхугольник $DACB$. Угол $\angle BDA = \frac{\angle BOA}{2}$ так как это вписанный угол опирающийся на ту же дугу.

Четырёхугольник $DACB$ вписанный, следовательно $\angle BDA + \angle BCA = 180^\circ$

Откуда $\angle BCA = 180^\circ - \angle BOA / 2 = 150^\circ$

Применим теорему синусов для треугольника $ABC$:

$$\frac{AB}{\sin C} = 2\cdot R \Leftrightarrow AB = 2\cdot R\cdot \sin C = 2\cdot\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 3$$

Обозначим за $x$ вписанный угол. Тогда центральный угол равен $2x$. Составим уравнение:

$$2x = x + 36\Leftrightarrow x = 36$$