Тип 16 № 21001

Решение:

Заметим, что $$0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}, \qquad 125 = 5^3.$$ Тогда числитель: $$0{,}2^x - 125 = (5^{-1})^x - 5^3 = 5^{-x} - 5^3.$$

Преобразуем знаменатель. Имеем: $$4^x = 2^{2x}, \qquad 2^{x + 2{,}5} = 2^x \cdot 2^{2{,}5}, \qquad 8 = 2^3.$$ Введём замену $t = 2^x > 0$. Тогда знаменатель принимает вид: $$t^2 - 2^{2{,}5}t + 8.$$ Дискриминант этого квадратного трёхчлена: $$D = (2^{2{,}5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 2^5 - 32 = 32 - 32 = 0.$$ Следовательно, он является полным квадратом: $$t^2 - 2^{2{,}5}t + 8 = \left(t - 2^{1{,}5}\right)^2.$$ Возвращаясь к переменной $x$: $$4^x - 2^{x + 2{,}5} + 8 = \left(2^x - 2^{1{,}5}\right)^2.$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно: $$\frac{5^{-x} - 5^3}{\left(2^x - 2^{1{,}5}\right)^2} \leq 0.$$

По методу рационализации, так как основание $5>1$ и $2>1$, получаем: $$\frac{-x - 3}{(x - 1{,}5)^2} \leq 0.$$

Решим неравенство: $$\frac{x+3}{(x-1{,}5)^2} \geq 0.$$

Таким образом, неравенство выполняется при $$x \in [-3; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty).$$

Ответ: $[-3; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$.