Тригонометрические уравнения группировкой

$$2\cos x - \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) = 2\cos^3 x$$ $$2\cos x - \sqrt{3} + \sqrt{3}\cos^2 x = 2\cos^3 x$$ $$2\cos^3 x - \sqrt{3}\cos^2 x - 2\cos x + \sqrt{3} = 0$$

Сгруппируем слагаемые: $$(2\cos^3 x - 2\cos x) + (-\sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3}) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt{3}(\cos^2 x - 1) = 0$$ $$(\cos^2 x - 1)(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$

Решаем уравнение: $$\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1$$ $$x = \pi k, \quad k \in Z$$ $$2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi; -\frac{13\pi}{6}; -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k, k \in Z; \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z;$ б) $-3\pi; -\frac{13\pi}{6}; -2\pi;$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0$$ $$(t^3 + t^2) - (3t + 3) = 0$$ $$t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0$$ $$(t + 1)(t^2 - 3) = 0$$ $$t = -1 \text{ или } t^2 = 3$$ $$\tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\tg x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4}; \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k\in Z; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z;$ б) $\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4};\frac{10\pi}{3}$

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) + (\sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3}) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) + \sqrt{3}(\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$

Решаем уравнение: $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет решений}$$ $$2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$

Упростим уравнение, используя свойства тригонометрических функций: $$\sin 2x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$ $$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$ $$2\sin x (\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0$$ $$(\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \cos x = 1 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x = 2\pi k \\ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \\\\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{array}\right., k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi; \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi; \frac{19\pi}{6}$

Упростим уравнение: $$2\sin 2x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$4\sin x \cos x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$2\sin x (2\cos x - 1) - (2\cos x - 1) = 0$$ $$(2\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = \dfrac{1}{2} \\ &\sin x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \quad$$ $$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \quad$$ $$\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \quad$$

Корни, принадлежащие заданному отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}; -\frac{11\pi}{3};-\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{23\pi}{6}; -\frac{11\pi}{3};-\frac{19\pi}{6}$