Электродинамика

Электроёмкость $C = \varepsilon_0\varepsilon S/d$

Удаляется диэлектрик, $\varepsilon$ уменьшается, значит ёмкость уменьшается.

Подключен к источнику — $U$ остаётся прежним.

Рассмотрим движение заряженной частицы в однородном электрическом поле между пластинами конденсатора в инерциальной системе, связанной с Землёй: $$m\,\vec a=\vec F,\qquad \vec F=q\,\vec E.$$ Следовательно, продольное ускорение $$a=\frac{qE}{m}.$$

Движение равноускоренное, поэтому для координат и проекций скорости имеем: $$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2},\qquad y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2},$$ $$v_x=v_{0x}+a_x t,\qquad v_y=v_{0y}+a_y t,\qquad v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.$$ Положим условия входа: $x_0=0,\ v_{0x}=v,\ a_x=0;\ y_0=0,\ v_{0y}=0$. Тогда $$x=vt,\qquad v_x=v,\qquad v_y=\frac{qE}{m}\,t,\qquad v=\sqrt{v^2+\left(\frac{qE}{m}t\right)^2}.$$

Пусть длина пластин равна $l$, а время пролёта частицы $t_1$. Из $x(t_1)=l$ находим $$l=v\,t_1\ \Rightarrow\ t_1=\frac{l}{v}.$$ К моменту выхода из конденсатора $$v_{1y}=\frac{qE}{m}\,t_1,\qquad v_1=\sqrt{v^2+\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v}\right)^2}.$$

Угол отклонения траектории от исходного направления определяется из отношения проекций: $$\tan\alpha=\frac{v_{1y}}{v_x}=\frac{qE}{m}\,\frac{t_1}{v} =\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v^2},\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v^2}\right).$$

1. Как меняется модуль скорости $v_1$ при увеличении напряжённости $E$. Начальная скорость $v$, масса $m$, заряд $q$ и длина пластин $l$ фиксированы. При росте $E$ добавочная поперечная составляющая скорости растёт, следовательно итоговая скорость $v_1$ возрастает.

2. Как меняется угол отклонения $\alpha$ при изменении $E$. При тех же неизменных $v, m, q, l$ формула показывает, что $\tan\alpha$ пропорциональна $E$; значит $\alpha$ также возрастает (для острых углов $\tan\alpha$ монотонно растёт).

Рассмотрим протон, движущийся в однородном электрическом поле плоского конденсатора, в инерциальной системе, связанной с поверхностью Земли: $$m\,\vec a=\vec F,\qquad OY:\; m\,a=\!F,\qquad \vec F=q\,\vec E.$$ Отсюда продольное ускорение $$a=\frac{qE}{m}.$$

Движение равноускоренное, поэтому координаты и проекции скоростей: $$x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2},\qquad y=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2},$$ $$v_x=v_{0x}+a_x t,\qquad v_y=v_{0y}+a_y t,\qquad v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.$$ Условия входа: $x_0=0,\ v_{0x}=v,\ a_x=0;\ y_0=0,\ v_{0y}=0$. Тогда $$x=vt,\quad v_x=v,\quad v_y=\frac{qE}{m}\,t,\quad v=\sqrt{\,v^{2}+\left(\frac{qE}{m}t\right)^{2}}.$$

Пусть время пролёта внутри конденсатора $t_1$, длина пластин $l$, а модуль скорости на выходе $v_1$. Из условия $x(t_1)=l$: $$l=v\,t_1\ \Rightarrow\ t_1=\frac{l}{v}.$$ Компоненты и модуль скорости на выходе: $$v_{1y}=\frac{qE}{m}\,t_1,\qquad v_1=\sqrt{\,v^{2}+\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v}\right)^{2}}.$$

Кинетическая энергия протона на выходе $$W=\frac{m v_1^{2}}{2} =\frac{m}{2}\!\left(v^{2}+\left(\frac{qE}{m}\,\frac{l}{v}\right)^{2}\right).$$

1. Как меняется выходная кинетическая энергия $W$ при уменьшении напряжённости $E$. Начальные $v$, $m$, $q$ и длина $l$ постоянны. Из формулы видно, что вклад поля пропорционален $E^{2}$, поэтому при уменьшении $E$ энергия $W$ уменьшается.

2. Как меняется время пролёта $t_1$ при изменении $E$. Из формулы следует, что $t_1=l/v$ и никак не зависит от $E$; следовательно, при изменении напряжённости поля время пролёта остаётся прежним.

Сила тока $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$ при уменьшении $R$ , сила тока - увеличивается. ЭДС источника $\mathcal{E}$ — характеристика источника, не меняется.

Внутреннее сопротивление $r$ — это свойство источника, не меняется. Напряжение на клеммах $U = \mathcal{E} - I r$, при увеличении $R$ ток $I$ уменьшается ($I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$), значит $U$ увеличивается.