Электромагнетизм

На альфа-частицу в магнитном поле действует сила Лоренца: $$F = qvB\sin\alpha,$$ где $q$ — заряд частицы, $v$ — скорость частицы, $B$ — магнитная индукция. Поскольку альфа-частица движется по окружности, магнитное поле перпендикулярно её траектории, и $\sin 90^\circ = 1$, поэтому сила Лоренца записывается как: $$F = qvB.$$

Согласно второму закону Ньютона, силу можно также выразить так: $$F = ma = qvB,$$ где $a = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

Тогда радиус окружности движения частицы: $$R = \frac{mv}{qB}.$$

Сила Лоренца : $$F = qvB = \frac{mv^2}{R}.$$

Рассмотрим, как изменяется радиус для альфа-частицы по сравнению с протоном при одинаковой скорости. Альфа-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов, её масса в 4 раза больше массы протона, а заряд — в 2 раза больше заряда протона. Тогда радиус орбиты для альфа-частицы: $$R_2 = \frac{4m v}{2q B} = 2 \frac{m v}{q B} = 2 R.$$ То есть радиус увеличится вдвое.

Сила Лоренца теперь: $$F = \frac{4mv^2}{2R}=\frac{2mv^2}{R}.$$

Период обращения, то есть время одного полного оборота, $T = 2\pi R / v$, также увеличится в 2 раза, потому что радиус увеличился, а скорость осталась прежней, соответственно так как частота это обратная величина периоду, то она уменьшится в 2 раза.

Рассмотрим, как зависят период обращения и скорость частицы, движущейся по окружности в магнитном поле, от её массы $m$, заряда $q$, и кинетической энергии $W_k$ при заданной индукции магнитного поля $B$.

сила Лоренца: $$F = qvB\sin\alpha,$$ где $q$ — заряд частицы, $v$ — скорость частицы, $B$ — магнитная индукция. Поскольку альфа-частица движется по окружности, магнитное поле перпендикулярно её траектории, и $\sin 90^\circ = 1$, поэтому сила Лоренца записывается как: $$F = qvB.$$ Второй закон Ньютона: $$m a = F,$$ $$m \frac{v^2}{R} = q v B,$$ откуда $$v = \frac{q B R}{m}.$$

Период обращения частицы по окружности находим из соотношения между длиной окружности и скоростью: $$T = \frac{2\pi R}{v}.$$ Подставляя выражение для $v$, получаем: $$T = \frac{2\pi R}{\frac{q B R}{m}} = \frac{2\pi m}{q B}.$$

Таким образом, период обращения частицы в магнитном поле зависит только от отношения её массы к заряду и индукции поля, но не зависит от скорости или радиуса траектории.

Если сравнить два типа частиц — например, протон ($m_1 = 1~\text{а.е.м.},~q_1 = e$) и альфа-частицу ($m_2 = 4~\text{а.е.м.},~q_2 = 2e$), то у них периоды обращения соотносятся как: $$\frac{T_2}{T_1} = \frac{m_2/q_2}{m_1/q_1} = \frac{4/2}{1/1} = 2.$$ То есть, период обращения альфа-частицы вдвое больше периода обращения протона.

Скорость частицы можно выразить через её кинетическую энергию: $$W_k = \frac{1}{2} m v^2 \qquad \Rightarrow \qquad v = \sqrt{\frac{2 W_k}{m}}.$$ Таким образом, при увеличении массы при неизменной кинетической энергии скорость частицы уменьшается.

Когда на заряженную частицу, например протон, воздействует магнитное поле, возникает сила Лоренца, равная: $$F = q v B \sin \alpha,$$ где $q$ — заряд частицы, $v$ — её скорость, $B$ — магнитная индукция. Поскольку движение происходит по окружности и направление поля перпендикулярно скорости, $\sin 90^\circ = 1$, поэтому: $$F = q v B.$$

Второй закон Ньютона позволяет записать: $$F = m a = q v B,$$ где $a = \dfrac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.

Рассчитывая радиус траектории: $$R = \dfrac{m v}{q B}$$

Теперь проанализируем, как изменится скорость для альфа-частицы, движущейся по тому же радиусу. Альфа-частица имеет массу, в четыре раза большую массы протона, а заряд в два раза больше заряда протона. Тогда для неё: $$v_2 = \dfrac{R 2 q B}{4 m} = \dfrac{R q B}{2m} = \dfrac{1}{2}v,$$ то есть скорость станет в 2 раза меньше.

Период обращения частицы по окружности, то есть время одного полного оборота: $$T = \dfrac{2 \pi R}{v}$$ Так как радиус не изменился, а скорость стала в 2 раза меньше, период увеличится в два раза, соответственно частота, которая является обратной периоду величиной, уменьшилась.

Для центростремительного ускорения альфа-частицы используем: $$a_2 = \dfrac{v_2^2}{R} = \dfrac{v^2}{2R} = \dfrac{1}{2} \dfrac{v^2}{R} = \dfrac{a_1}{2}$$ Следовательно, ускорение уменьшится в 2 раза по сравнению с протоном, поскольку скорость уменьшилась в двое.

Вектор напряжённости электрического поля всегда направлен от положительного заряда к отрицательному. Поскольку доска расположена ближе к положительному полюсу, в области возле проводника с током возникает избыточный положительный заряд. От него в разные стороны расходятся линии напряжённости электрического поля, как показано на рисунке 1.

Магнитное поле вокруг проводника с током имеет направление, определяемое правилом буравчика: если вращать ручку буравчика по направлению движения тока (от «+» к «–»), то поступательное движение буравчика указывает направление линий магнитного поля. Направление вращения ручки в плоскости доски показано на рисунке 4.

Напряжённость электрического поля направлена от положительного заряда к отрицательному. Поскольку доска расположена ближе к отрицательному полюсу, около проводника с током окажется сосредоточен отрицательный заряд. К этому заряду со всех сторон будут сходиться линии напряжённости электрического поля, как показано на рисунке 2.

Для определения направления линий магнитного поля, окружающих проводник с током, удобно воспользоваться правилом буравчика. Если направить буравчик от «+» к «–», то вращать его следует так, чтобы направление его поступательного движения совпадало с направлением тока (от «+» к «–»). Тогда направление вращения ручки буравчика укажет направление линий магнитного поля в плоскости доски, соответствующее рисунку 3.