Расчетная задача. Механика и МКТ

Потенциальная энергия пружины: $$E_p = \frac{1}{2}kx^2$$ В момент отрыва сила упругости равна весу бруска: $$kx = mg \implies x = \frac{mg}{k}$$ $$x = \frac{2 \cdot 10}{400} = 0.05~\text{м}$$ $$E_p = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot 0.05^2 = 0.5~\text{Дж}$$

Ответ: $E_p = 0.5~\text{Дж}$

Переведём скорость: $v = 90$ км/ч $= 25$ м/с. Ищем время: $$S = \frac{v_0+v}{2} t \implies t = \frac{2S}{v_0 + v}$$ $$t = \frac{2 \cdot 100}{25} = 8~\text{с}$$

Ответ: $t = 8~\text{с}$

Сохраняется импульс по горизонтали: $$\sum p_x = \text{const}$$ До броска горизонтальный импульс равен нулю, после — сумма импульсов мальчика и горизонтальной составляющей импульса груза: $$0 = -m_\text{м} V + m\text{г} V \cos 60^\circ$$ $$-40V + 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 0 \implies -40V = -10 \implies V = 0.25~\text{м}/\text{с}$$

Ответ: $V = 0.25~\text{м}/\text{с}$

По закону сохранения импульса вдоль горизонтали: $$m\,v\cos\alpha=(m+M)\,u, \qquad u=\frac{m\,v\cos\alpha}{m+M}.$$

Кинетическая энергия системы «тележка+камень» сразу после удара: $$E=\frac{(m+M)u^2}{2} =\frac{(m+M)}{2}\left(\frac{m\,v\cos\alpha}{m+M}\right)^{\!2} =\frac{m^2\,v^2\cos^2\alpha}{2\,(m+M)}.$$

$$E=\frac{m^2}{2(m+M)}\,v^2\cos^2\alpha.$$

$$E=\dfrac{6^2}{2(6+18)}\cdot 8^2\cdot\cos^2 60^\circ = 12 \ \text{Дж}.$$

Ответ: $E= 12 \ \text{Дж}.$

При взрыве снаряда его скорость изменяется скачком. До взрыва двигался только снаряд, после взрыва его осколки разлетаются отдельно. Причём направление скорости второго осколка неизвестно.

Начальные и конечные импульсы системы (снаряд и осколки) равны: $$\vec{p}_0 = m \cdot \vec{v}_0, \quad \vec{p} = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2$$

Силой тяжести осколков пренебрегаем, внешние силы отсутствуют (сила взрыва намного больше), поэтому импульс сохраняется: $$\vec{p}_0 = \vec{p}, \qquad m \cdot \vec{v}_0 = m_1 \cdot \vec{v}_1 + m_2 \cdot \vec{v}_2 \tag{1}$$

Пусть $m = m_1 + m_2$, а по условию $m_1 = m_2$ — массы осколков одинаковы.

Из (1) имеем: $$m_2 \vec{v}_2 = m \vec{v}_0 - m_1 \vec{v}_1$$ Построив наглядно треугольник импульсов, по теореме Пифагора: $$(m_2 v_2)^2 = (m v_0)^2 + (m_1 v_1)^2$$ Тогда $$v_2^2 = \frac{(m v_0)^2 + (m_1 v_1)^2}{m_2^2}$$ Для одинаковых масс $m_1 = m_2$ и $m = 2m_1$: $$v_2^2 = \frac{(2m_1 v_0)^2 + (m_1 v_1)^2}{m_1^2} = 4v_0^2 + v_1^2$$ $$v_1^2 = -4v_0^2 + v_2^2$$ $v_1 = 150$ м/с.

Ответ: $v_1 = 150$ м/с.