Экономическая задача №16 ЕГЭ профиль

1. Что за задание №16 и почему оно того стоит

Задание №16 в профильном ЕГЭ по математике — это текстовая задача про деньги: кредиты, вклады, банковские проценты, а иногда — распределение ресурсов между несколькими объектами. Формула там простая на вид, но текст условия обычно длинный и путаный, и именно в этом главная сложность.

Хорошая новость: за этим заданием стоят всего несколько типовых сценариев. Если один раз разобраться со схемой «долг — платёж — проценты» и со схемой «переменная — функция — экстремум», дальше вы будете узнавать один и тот же скелет задачи под разной «одеждой» текста.

Задание №16 почти всегда сводится к одному из трёх сюжетов: человек кладёт деньги в банк (вклад), берёт деньги у банка (кредит), либо перед нами задача, где нужно найти наименьшее или наибольшее значение какой-то величины — затрат, прибыли, суммы процентов (оптимизация).

2. Базовые термины: не путаем деньги с процентами

Прежде чем считать, договоримся о словах. Путаница в терминах — причина половины ошибок в этом задании.

Легко запомнить через направление движения денег. В кредите деньги сначала идут от банка к нам, а потом от нас к банку. Во вкладе всё наоборот: сначала от нас в банк, потом от банка к нам.

3. Главные формулы задания

Всё начинается с одной идеи: если число $S$ увеличивается на $p$ процентов, то новое число получается умножением на коэффициент.

$$S_1=S\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)=S\cdot k.$$

Число $k=1+\dfrac{p}{100}$ называют повышающим коэффициентом. Например, при ставке $20\%$:

$$k=1+\frac{20}{100}=1{,}2.$$

Если $S=1\,000\,000$ руб., то через год на счёте окажется

$$S_1=1\,000\,000\cdot1{,}2=1\,200\,000\text{ руб.}$$

Дальше формулы расходятся в зависимости от того, кредит перед нами или вклад, но логика одна и та же — сначала считаем проценты, потом учитываем движение денег.

Формулы для кредита

Мы платим:

$$\text{долг}-\text{платёж}=\text{остаток долга}.$$

Банк начисляет:

$$\text{остаток долга}\cdot\left(1+\text{проценты}\right)=\text{долг}.$$

То есть за один период происходит ровно два действия: банк начисляет проценты на то, что мы ему должны, а потом мы вносим платёж, и остаток долга уменьшается.

Формулы для вклада

Пополнение:

$$S=S_1+S_2$$

Начисление процентов:

$$S=S_1\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)=S_1\cdot k$$

Снятие:

$$S=S_1-S_2$$

С вкладом всё зеркально: сумма может расти либо от процентов, либо от пополнения, и уменьшаться только тогда, когда мы сами что-то снимаем.

4. Как переводить условие в таблицу

Главный рабочий инструмент в этом задании — таблица «период / долг с процентами / выплата / остаток долга» (для кредита) или «период / сумма до начисления / сумма после начисления» (для вклада). Она превращает длинный текст в понятную схему.

Правило заполнения таблицы: каждая новая строка получается из остатка предыдущей строки. Сначала умножаем остаток на коэффициент $k$ (банк начисляет проценты), потом вычитаем платёж (мы платим).

Когда в таблице появляется прогрессия

Если по условию долг убывает равномерно — одинаковыми частями каждый период, — то столбец «остаток долга» представляет собой арифметическую прогрессию:

$$S_{n+1}=S_n-d.$$

Здесь $d$ — это шаг, на который каждый раз уменьшается сам остаток долга — не платёж целиком, а именно тело долга. Такой сюжет называют «кредит с дифференцированными выплатами», разберём его отдельно ниже.

5. Типы экономических задач №16

Все задачи этого номера укладываются в несколько сценариев. Разберём каждый по отдельности — с логикой, формулой, коротким примером с решением и тем, на что смотреть в тексте условия.

Тип 1. Вклад без движений — простое начисление процентов

Самый простой вариант: положили деньги, банк каждый год увеличивает сумму на фиксированный процент, никаких пополнений и снятий. Формула — обычная геометрическая прогрессия:

$$S_n=S_0\cdot k^n.$$

Пример. Вклад в размере 500 000 руб. открыт на 3 года под 10% годовых — проценты начисляются в конце каждого года, без пополнений и снятий. Сколько рублей будет на счёте через 3 года?

Здесь $S_0=500\,000$, $k=1{,}1$, $n=3$. Подставляем в формулу геометрической прогрессии:

$$S_3=500\,000\cdot1{,}1^3 =500\,000\cdot1{,}331 =665\,500.$$

Ответ: 665 500.

Тип 2. Вклад с пополнением

К вкладу в определённые моменты добавляются деньги. Схема: сначала считаем проценты за период, потом прибавляем пополнение. Важно не перепутать порядок — банк начисляет проценты на то, что уже лежало на счёте, а не на сумму после пополнения, если пополнение происходит в конце периода.

Пример. Вклад открыт на 2 года на сумму 200 000 руб. под 20% годовых. В конце каждого года банк сначала начисляет проценты, а затем вкладчик пополняет счёт на 50 000 руб. Сколько рублей будет на счёте сразу после пополнения в конце второго года?

Коэффициент $k=1{,}2$. Считаем по годам: конец 1-го года — начислили проценты на 200 000, потом добавили пополнение:

$$200\,000\cdot1{,}2+50\,000 =240\,000+50\,000 =290\,000.$$

Конец 2-го года — снова начислили проценты уже на 290 000, потом добавили пополнение:

$$290\,000\cdot1{,}2+50\,000 =348\,000+50\,000 =398\,000.$$

Ответ: 398 000.

Тип 3. Кредит с аннуитетными — равными — платежами

Самый частый тип в реальных заданиях ЕГЭ. Условие обычно звучит так: «ежегодно вносится одинаковая сумма, при этом кредит должен быть полностью погашен к определённому сроку». Задача — найти этот платёж, зная, что долг в конце должен обратиться в ноль.

Пример. Кредит в размере 200 000 руб. взят на 2 года под 20% годовых. Долг нужно выплатить двумя равными платежами $x$ — в конце каждого года, причём после второго платежа долг должен стать равным нулю. Найдите $x$.

Строим таблицу. Коэффициент $k=1{,}2$.

Решаем уравнение из второй строки:

$$(240\,000-x)\cdot1{,}2=x$$

$$288\,000-1{,}2x=x$$

$$288\,000=2{,}2x$$

$$x=\frac{288\,000}{2{,}2}\approx130\,909.$$

Ответ: 130 909,09.

Тип 4. Кредит с дифференцированными выплатами

Здесь тело долга уменьшается равными частями — например, кредит на 4 года гасится по $\frac14$ каждый год, — а проценты каждый раз начисляются на оставшуюся часть. Поэтому платежи с каждым годом становятся меньше: база для начисления процентов уменьшается.

Пример. Кредит в размере 300 000 руб. взят на 3 года под 10% годовых. Тело долга гасится равными частями по 100 000 руб. в конце каждого года, а проценты начисляются на остаток долга на начало года и выплачиваются вместе с телом. Найдите общую сумму всех выплат за 3 года.

Остаток долга на начало года:

$$300\,000\longrightarrow200\,000\longrightarrow100\,000.$$

Проценты за каждый год — это 10% от остатка на начало года:

$$0{,}1\cdot300\,000 +0{,}1\cdot200\,000 +0{,}1\cdot100\,000$$

$$=30\,000+20\,000+10\,000 =60\,000.$$

Общая сумма выплат — это всё тело долга, то есть 300 000, плюс сумма всех процентов:

$$300\,000+60\,000=360\,000.$$

Ответ: 360 000.

Подробный разбор более сложной задачи этого типа — с неравномерной таблицей остатков долга — смотрите в разделе 8.

Тип 5. Смешанный сценарий: вклад или кредит с дополнительными взносами в конкретные годы

Часто в условии есть только два-три «особых» года, когда вносится дополнительная сумма, а остальные годы деньги просто лежат под процентами. Здесь важнее всего аккуратно построить таблицу год за годом, не пропустив ни одного начисления.

Пример. Вклад в размере 100 000 руб. открыт на 3 года под 10% годовых. В начале второго года вкладчик дополнительно вносит 50 000 руб., а на третий год пополнений нет. Проценты начисляются в конце каждого года на сумму, которая лежала на счёте весь год. Сколько рублей будет на счёте в конце третьего года?

Год 1: только 100 000 лежит под процентами:

$$100\,000\cdot1{,}1=110\,000.$$

Начало года 2: добавили 50 000, стало 160 000, весь год лежит под процентами:

$$160\,000\cdot1{,}1=176\,000.$$

Год 3: пополнений нет, просто начисляем проценты на 176 000:

$$176\,000\cdot1{,}1=193\,600.$$

Ответ: 193 600.

Тип 6. Задачи на оптимизацию

Здесь вопрос звучит иначе: не «сколько нужно вложить», а «как распределить ресурсы, чтобы затраты были наименьшими» или «чтобы прибыль была наибольшей». По сути, экономический сюжет здесь служит просто оболочкой для задачи на поиск максимума или минимума функции одной переменной. На основной волне ЕГЭ такой прототип почти не встречается, но пару раз попадался на досрочной и резервной волне, поэтому знать схему решения стоит.

Схема решения всегда одна: выделить, как правило, две неизвестные величины, найти взаимосвязь между ними из условия, выразить одну переменную через другую, составить функцию, которую просят оптимизировать, а затем найти её наименьшее или наибольшее значение — через вершину параболы, если функция квадратичная, или через производную, если функция более сложная. Полный разбор с примером — в разделе 9.

Как отличить тип задачи по тексту: ищите слова «одинаковыми частями», «равными платежами» — это аннуитет. Слова «долг должен составлять такую-то долю» с таблицей значений по годам — это дифференцированные выплаты. Слова «дополнительно вносит» или «пополняет» — задача с добавочными взносами. А слова «наименьшая сумма», «наибольшая прибыль» без явного упоминания процентов по вкладу или кредиту — это сигнал, что перед вами задача на оптимизацию.

6. Разбор задачи: вклад с двумя дополнительными взносами

Задача. В январе 2028 года планируется открыть вклад на 4 года на целое число сотен тысяч рублей, а в январе 2029, 2030 и 2031 годов дополнительно вносить на этот вклад ещё по 400 000 руб. Банк в конце каждого года увеличивает сумму вклада на 10%. Какую наименьшую сумму надо вложить первоначально, чтобы банк начислил в качестве процентов более 800 000 руб? Ответ дайте в рублях.

Работаем в сотнях тысяч рублей — так меньше цифр. Пусть первоначальный вклад равен $S$ сотен тысяч, коэффициент $k=1{,}1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года после раскрытия всех скобок:

$$1{,}1^4S+4\left(1{,}1^2(1{,}1+1)+1{,}1\right).$$

Считаем численные коэффициенты:

$$1{,}1^2=1{,}21, \qquad 1{,}1+1=2{,}1, \qquad 1{,}1^4=1{,}4641,$$

$$1{,}21\cdot2{,}1=2{,}541, \qquad 4(2{,}541+1{,}1)=4\cdot3{,}641=14{,}564.$$

Итоговая сумма на счёте:

$$1{,}4641S+14{,}564 \quad \text{в сотнях тысяч рублей}.$$

Теперь считаем, сколько всего денег было внесено «своими руками» — это первоначальный взнос плюс три пополнения по 4:

$$S+3\cdot4=S+12.$$

Проценты — это разница между итоговой суммой и всеми внесёнными деньгами:

$$(1{,}4641S+14{,}564)-(S+12) =0{,}4641S+2{,}564.$$

По условию проценты должны быть больше 800 000 руб., то есть больше 8 сотен тысяч:

$$0{,}4641S+2{,}564>8$$

$$S>\frac{5{,}436}{0{,}4641}\approx11{,}71.$$

Так как $S$ — целое число сотен тысяч рублей, наименьшее подходящее значение — $S=12$.

Ответ: 1 200 000.

7. Разбор задачи: вклад с пополнением и целевым процентом начислений

Задача. Планируется открыть банковский вклад на 10 млн рублей на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик пополняет вклад на $x$ млн рублей, где $x$ — целое число. Найдите наименьшее значение $x$, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

Строим таблицу по годам. Коэффициент $k=1{,}1$.

Проценты — это итоговая сумма минус все внесённые деньги: 10 млн вклада плюс два пополнения по $x$. Условие «начислит больше 7 млн» даёт неравенство:

$$1{,}1\Bigl(1{,}1\bigl(1{,}1^2\cdot10+x\bigr)+x\Bigr)-10-2x>7.$$

После раскрытия скобок и приведения подобных неравенство сводится к виду

$$x> \frac{17-1{,}1^4\cdot10}{1{,}1^2+1{,}1-2} = 7\frac{189}{310}.$$

Так как $x$ — целое число, наименьшее подходящее значение — $x=8$.

Ответ: 8.

Сравните эту задачу с предыдущей: механика та же самая — таблица «до/после начисления», перенос всего в неравенство, — а отличается только то, что здесь ищут минимальное пополнение, а не минимальный первоначальный взнос. Умение видеть общую схему за разными формулировками — и есть цель тренировки этого номера.

8. Разбор задачи: кредит с дифференцированными выплатами

Задача. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия возврата: каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле каждого года долг должен составлять определённую часть кредита по таблице.

Здесь долг не убывает равными частями — это не арифметическая прогрессия, — но заданная таблица уже фактически даёт нам «остаток долга» на конец каждого года. Это и есть ключевая особенность дифференцированного сценария. Нужно найти наибольшее $S$, при котором общая сумма выплат меньше 50 млн рублей.

Составляем полную таблицу с начислением 15% и вычислением выплаты в каждом году:

Столбец «выплата» устроен так: это начисленные проценты за год — 15% от долга на начало года — плюс та часть тела долга, которая должна погаситься, чтобы дойти до нужного значения в июле.

Суммируем все выплаты:

$$0{,}15S(1+0{,}8+0{,}5+0{,}1)+S<50.$$

Считаем сумму в скобках:

$$1+0{,}8+0{,}5+0{,}1=2{,}4.$$

Значит, проценты дают

$$0{,}15\cdot2{,}4S=0{,}36S.$$

Вместе с телом долга:

$$0{,}36S+S<50$$

$$1{,}36S<50$$

$$S<\frac{50}{1{,}36}\approx36{,}76.$$

Наибольшее целое значение — $S=36$.

Ответ: 36.

Важно понимать: в дифференцированном кредите общая сумма выплат равна сумме всех начисленных процентов плюс всё тело кредита. Тело кредита в сумме всегда равно $S$ — весь долг возвращается ровно один раз, просто по частям, — а проценты каждый год считаются по-разному, так как база для начисления уменьшается.

9. Разбор задачи: оптимизация — минимальные затраты на двух заводах

В отличие от кредитов и вкладов, в этом типе задач нет ни процентов, ни платежей по годам — есть только связь между объёмом произведённого товара и затраченными на него рабочими часами. Вопрос про «наименьшую сумму затрат» — прямой сигнал, что перед нами оптимизация: нужно построить функцию затрат и найти её минимум.

Задача. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы на каждом из заводов Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Шаг 1. Вводим переменную и выражаем через неё всё остальное

Пусть $x$ — количество единиц товара, произведённое на первом заводе. Тогда на втором заводе произведут $(580-x)$ единиц, чтобы суммарно получилось нужные 580 единиц товара.

Из условия для первого завода: если $x=2t$, то

$$t=\frac{x}{2}.$$

Значит, число рабочих часов равно

$$t^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2.$$

Аналогично для второго завода: из $(580-x)=5t$ следует

$$t=\frac{580-x}{5}.$$

Число рабочих часов равно

$$t^2=\left(\frac{580-x}{5}\right)^2.$$

Шаг 2. Собираем таблицу и функцию затрат

Каждый рабочий час стоит 500 рублей, поэтому суммарные затраты по обоим заводам — это функция от $x$:

$$f(x) = 500\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^2 + 500\cdot\left(\frac{580-x}{5}\right)^2.$$

Шаг 3. Раскрываем скобки и приводим к стандартному виду параболы

Раскрываем каждое слагаемое отдельно и приводим дроби к общему знаменателю 100:

$$f(x) = 500\left( \frac{x^2}{4} + \frac{580^2-1160x+x^2}{25} \right).$$

$$f(x) = 500\cdot \frac{ 25x^2+4\cdot580^2-4640x+4x^2 }{100}.$$

После упрощения получаем квадратичную функцию:

$$f(x)=145x^2-23200x+20\cdot580^2.$$

Ключевое наблюдение: график $f(x)$ — парабола с ветвями вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положительный. Значит, наименьшее значение достигается в её вершине:

$$x_B=-\frac{b}{2a}.$$

Это удобная альтернатива производной, когда функция затрат квадратичная.

Шаг 4. Находим вершину параболы

$$x_B = \frac{23200}{2\cdot145} = \frac{23200}{290} = 80.$$

Значит, наименьшие затраты достигаются, если на первом заводе произвести 80 единиц товара, а на втором — оставшиеся 500 единиц.

Шаг 5. Считаем минимальное значение функции

$$f(80) = 145\cdot80^2 -23200\cdot80 +20\cdot580^2.$$

$$f(80) = 928\,000 -1\,856\,000 +6\,728\,000 = 5\,800\,000.$$

Ответ: 5 800 000.

Альтернативный путь — через производную. Если функция не квадратичная, вершину параболы искать бессмысленно — там нужно взять производную $f'(x)$, приравнять её к нулю или проверить её знак. Например, в задаче про распределение мальчиков и девочек по двум классам итоговая функция после преобразований оказывается такой, что при увеличении переменной значение всегда убывает. Если это заметно из вида функции, экстремум находится на границе допустимых значений переменной без формального взятия производной. Если не заметно, производная равна отрицательному числу без переменной, что доказывает то же самое: функция всюду убывает, и наибольшее значение достигается на левой границе, а наименьшее — на правой.

Как отличить оптимизационную задачу от обычной задачи этого номера

В отличие от кредитов и вкладов, где ищут конкретную сумму, ставку или платёж по уравнению, в задачах на оптимизацию в вопросе почти всегда стоят слова «наименьшая» или «наибольшая» сумма, значение или количество, а в условии есть связь между двумя величинами через какой-то параметр — как $t$ в примере выше.

Это сигнал, что нужно не решать уравнение, а строить функцию и искать её экстремум с помощью вершины параболы или производной.

10. Типичные ошибки в задании №16

Ошибка 1. Проценты начисляются на новую сумму, а не на старую

Если пополнение вклада происходит в начале периода, а начисление процентов — в конце, то проценты идут уже на сумму с учётом пополнения. Если наоборот — сначала считаем проценты на старую сумму, а пополнение добавляем уже потом. Порядок действий всегда прописан в условии, и его нельзя менять по привычке.

Ошибка 2. Путают сумму выплат и проценты

«Проценты, начисленные банком» — это не то же самое, что «общая сумма выплат». Проценты — это разница между тем, что вернули или получили, и тем, что реально было положено или взято своими деньгами.

Эту разницу почти всегда и просят найти в вопросе, поэтому важно на последнем шаге вычесть все «свои» вложения, а не забыть о них.

Ошибка 3. Неверный порядок в таблице по кредиту

В кредите последовательность строгая: сначала банк начисляет проценты на остаток, потом мы платим. Если поменять порядок местами — сначала заплатить, потом на остаток начислить проценты, — результат будет другим и, скорее всего, неверным.

Ошибка 4. Забыли, что $x$ или $S$ — целое число

Почти всегда в условии явно сказано «целое число». После решения неравенства получается дробный порог, например:

$$x>7\frac{189}{310}.$$

На этом шаге легко ошибиться в округлении. Если ищем наименьшее подходящее целое число и порог дробный положительный — округляем вверх. Если ищем наибольшее и порог дробный — округляем вниз.

Ошибка 5. Слишком рано подставили численные значения

Выгоднее сначала выразить итоговую формулу в общем виде через $S$ или $x$, а числа подставлять только в самом конце. Если считать по шагам с цифрами, легко накопить ошибку округления или потерять слагаемое.

Ошибка 6. В задачах на оптимизацию забыли учесть ограничения на переменную

Переменная $x$ в задачах на оптимизацию почти всегда ограничена условием. Например, количество товара или людей не может быть отрицательным или превышать общее число.

Прежде чем брать вершину параболы или искать корень производной, стоит проверить, что найденное значение действительно попадает в допустимый диапазон. Иначе экстремум придётся искать на границе этого диапазона.

11. Мини-памятка по заданию №16

Алгоритм решения экономической задачи: вклады и кредиты

1. Определить сюжет: вклад или кредит, есть ли дополнительные взносы или снятия.
2. Ввести переменную для неизвестной величины — суммы вклада, размера кредита или платежа.
3. Построить таблицу «период — сумма или долг — начисление процентов — движение денег» по годам.
4. Заполнить таблицу строго в том порядке действий, который указан в условии.
5. Вывести итоговую формулу для последнего периода.
6. Составить уравнение или неравенство по вопросу задачи.
7. Решить его, при необходимости учесть, что искомая величина — целое число.
8. Проверить единицы измерения — рубли, миллионы рублей или сотни тысяч — перед записью ответа.

Алгоритм решения задачи на оптимизацию

1. Выделить, как правило, две неизвестные величины, связанные условием задачи.
2. Найти взаимосвязь между ними — обычно это равенство из условия.
3. Выразить одну переменную через другую и через неё же выразить все остальные величины.
4. Составить функцию, которую просят оптимизировать: затраты, прибыль, сумму и так далее.
5. Проверить, не является ли функция квадратичной. Если да, экстремум ищется через вершину параболы.
6. Если функция не квадратичная, исследовать её на экстремум с помощью производной, учитывая ограничения на переменную.
7. Подставить найденное значение переменной обратно в функцию и вычислить ответ.

Экономическая задача №16 = аккуратная таблица или функция + чёткий порядок действий + правильно составленное уравнение, неравенство или экстремум.

12. Итоги

Задание №16 пугает объёмом текста, но не сложностью математики. Как только вы научитесь превращать условие в таблицу или в функцию и различать шесть типовых сценариев — простой вклад, вклад с пополнением, аннуитетный кредит, дифференцированный кредит, смешанный сценарий с разовыми взносами и задачи на оптимизацию — оставшаяся часть решения становится делом аккуратной алгебры.

Что стоит держать в голове:

• долг и проценты — не синонимы, проценты считаются от остатка долга;
• в кредите сначала начисляют проценты, потом мы платим;
• во вкладе порядок пополнения и начисления процентов задаёт условие, а не привычка;
• равномерное убывание долга — это арифметическая прогрессия;
• «начисленные проценты» — это итоговая сумма минус все реально внесённые деньги;
• в задачах на оптимизацию ищем не число из уравнения, а экстремум функции — через вершину параболы или производную;
• неизвестная величина почти всегда целое число — проверяйте округление в самом конце.