Решение неравенств методом интервалов

1. Зачем вообще нужен метод интервалов

Давайте начнём с очень простого сравнения.

Когда мы решаем уравнение, например

$$x-3=0,$$

мы ищем одно конкретное число. Здесь это $x=3$, и на этом всё заканчивается.

А когда мы решаем неравенство

$$x-3>0,$$

нам нужен уже не один ответ, а целая «пачка» чисел. Подходит и $x=4$, и $x=10$, и $x=1000$ — все числа правее тройки. Записываем это так: $x>3$.

Пока выражение простое, всё понятно и без хитростей. Но что делать вот с таким?

$$(x-4)(x+2)>0.$$

Здесь уже не получится «просто посмотреть». Скобки могут быть и плюсом, и минусом, произведение может прыгать туда-сюда. Проверять по одному числу мы можем бесконечно долго — чисел-то бесконечно много.

И вот тут выручает метод интервалов. Его идея почти детская: вместо того чтобы проверять все числа, мы находим несколько ключевых точек и проверяем только по одному числу между ними.

Метод интервалов работает тогда, когда выражение можно записать как произведение множителей или как дробь.

То есть он подходит вот к таким неравенствам:

$$(x-2)(x+5)>0, \qquad \frac{x-3}{x+1}\le 0, \qquad (x-1)^2(x+4)(x-7)\ge 0.$$

Главная мысль: важные точки разбивают числовую прямую на промежутки, и внутри каждого промежутка знак выражения не меняется.

2. Что такое «важные точки»

Важных точек всего два вида. Запомнить легко.

Вид первый: где выражение равно нулю

Возьмём выражение

$$(x-4)(x+2).$$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Это школьное правило, и мы им активно пользуемся:

$$x-4=0 \quad\text{или}\quad x+2=0,$$

то есть

$$x=4, \qquad x=-2.$$

Это нули выражения. Их ещё называют нулями числителя, если мы работаем с дробью.

Вид второй: где выражение не существует

Такое бывает в дробях. Смотрим на

$$\frac{x-3}{x+1}.$$

Знаменатель обязан быть не равен нулю, потому что на ноль делить нельзя:

$$x+1\ne 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ne -1.$$

Значит, $x=-1$ — запрещённая точка. Её на прямой отмечают выколотой (пустым кружочком).

Нули числителя могут войти в ответ — если неравенство нестрогое.

Нули знаменателя не входят в ответ никогда. Совсем никогда, даже при знаках $\ge$ и $\le$.

3. Почему знак не меняется внутри промежутка

Это ключевой момент всего метода, поэтому разберём его руками.

Возьмём

$$f(x)=(x-1)(x+3).$$

Нули: $x=1$ и $x=-3$. Эти две точки делят прямую на три куска:

$$(-\infty;-3), \qquad (-3;1), \qquad (1;+\infty).$$

Проверим средний промежуток $(-3;1)$. Возьмём удобное число, например $x=0$:

$$(0-1)(0+3)=(-1)\cdot 3=-3<0.$$

Минус. А теперь возьмём другое число из того же промежутка, скажем $x=-2$:

$$(-2-1)(-2+3)=(-3)\cdot 1=-3<0.$$

Снова минус. Совпадение? Нет.

Смотрите: множитель $x-1$ меняет знак только в точке $x=1$, а множитель $x+3$ — только в точке $x=-3$. Пока мы гуляем между $-3$ и $1$, мы не переходим ни через одну из этих точек. Значит, каждый множитель сохраняет свой знак, а вместе с ним и всё произведение.

Знак выражения способен измениться только в момент перехода через важную точку. В остальных местах менять его просто нечему.

Отсюда и вывод: достаточно одной пробной точки на промежуток. Одна проверка — и знак известен для всего куска прямой.

4. Общий алгоритм

Хорошая новость: почти все задачи решаются по одному и тому же сценарию. Выучите его один раз — и дальше будете действовать почти на автопилоте.

1. Перенести всё в одну сторону, чтобы справа остался ноль. Вместо $\dfrac{x+1}{x-2}>3$ пишем $\dfrac{x+1}{x-2}-3>0$.
2. Упростить: раскрыть скобки, привести подобные, свести дроби к общему знаменателю.
3. Разложить на множители, если получается.
4. Найти нули числителя.
5. Найти нули знаменателя, если есть дробь. Это запрещённые точки.
6. Отметить все важные точки на числовой прямой по возрастанию.
7. Разбить прямую на промежутки.
8. Определить знак на каждом промежутке.
9. Выбрать промежутки, подходящие под знак неравенства.
10. Записать ответ, аккуратно расставив круглые и квадратные скобки.

Строгое неравенство ($>$ или $<$): нули выражения не включаем.

Нестрогое ($\ge$ или $\le$): нули числителя включаем.

Нули знаменателя не включаем никогда.

5. Строгие и нестрогие неравенства

Половина потерянных баллов на экзамене — это неправильные скобки в ответе. Поэтому разберёмся заранее.

Запись $f(x)>0$ читается «выражение строго больше нуля». Ноль строго больше нуля? Нет. Значит, точки, где $f(x)=0$, не подходят — ставим круглую скобку.

Запись $f(x)<0$ — то же самое, только в другую сторону. Ноль не меньше нуля, поэтому нули опять не подходят.

А вот $f(x)\ge 0$ означает «положительно или равно нулю». Здесь нули — законные участники ответа, ставим квадратную скобку.

Аналогично $f(x)\le 0$: подходят и отрицательные значения, и ноль.

6. Пример 1. Произведение двух множителей

Задача. Решить неравенство

$$(x-4)(x+2)>0.$$

Выражение уже разложено на множители, справа ноль. Значит, шаги 1–3 алгоритма выполнены до нас, можно сразу искать нули.

$$(x-4)(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4, \quad x=-2.$$

Выписываем точки по возрастанию — это важно, иначе легко запутаться со знаками:

$$-2, \qquad 4.$$

Две точки дают три промежутка:

$$(-\infty;-2), \qquad (-2;4), \qquad (4;+\infty).$$

Теперь берём по одному удобному числу из каждого промежутка. «Удобное» — значит такое, с которым легко считать в уме.

Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля, то есть выбираем плюсы. Неравенство строгое, поэтому сами точки $-2$ и $4$ выкидываем.

Ответ: $(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$

7. Пример 2. Произведение трёх множителей

Задача. Решить неравенство

$$(x+2)(x-1)(x-5)>0.$$

Скобок стало больше, но принцип не изменился. Нули:

$$x=-2, \qquad x=1, \qquad x=5.$$

Три точки — четыре промежутка:

$$(-\infty;-2), \quad (-2;1), \quad (1;5), \quad (5;+\infty).$$

Считать четыре пробные точки скучновато. Поэтому применим короткий приём: посчитаем знак только справа, а дальше пойдём налево, чередуя знаки.

Берём $x=6$ из самого правого промежутка:

$$(6+2)(6-1)(6-5)=8\cdot 5\cdot 1=40>0.$$

Справа плюс. Все корни здесь простые — каждая скобка встречается по одному разу. А значит, при переходе через каждый корень знак обязан перевернуться.

Нужны плюсы, границы не берём:

Ответ: $(-2;1)\cup(5;+\infty)$

8. Как быстро расставлять знаки

Приём из прошлого примера стоит проговорить отдельно, потому что он экономит массу времени.

Возьмём $(x+3)(x-2)(x-6)$ с корнями $-3$, $2$, $6$.

Подумаем, что происходит при очень больших $x$, например при $x=100$. Каждая скобка вида $x-a$ при больших $x$ точно положительна. Значит, и всё произведение положительно. Отсюда правило: справа ставим плюс, а потом чередуем.

Если все множители имеют вид $(x-a)$, все корни простые и перед произведением нет минуса — ставим справа плюс и чередуем знаки влево.

Но есть подвох. Если перед произведением стоит минус:

$$-(x-1)(x+4),$$

то справа обе скобки положительны, а минус впереди всё переворачивает:

$$-(+)\cdot(+)=-.$$

Так что справа будет минус. Всегда проверяйте знак перед выражением, прежде чем чередовать.

9. Кратность корня

Иногда один и тот же множитель повторяется. Например:

$$(x-2)^3(x+1)^2.$$

Скобка $(x-2)$ стоит в третьей степени — говорят, что корень $x=2$ имеет кратность 3. Скобка $(x+1)$ во второй степени — корень $x=-1$ имеет кратность 2.

Зачем это знать? Кратность решает, перевернётся знак или нет.

Правило кратности: нечётная кратность знак меняет, чётная — не меняет.

Откуда это берётся

Проверим на $(x-2)^2$. Слева от двойки возьмём $x=1$:

$$(1-2)^2=(-1)^2=1>0.$$

Справа возьмём $x=3$:

$$(3-2)^2=1^2=1>0.$$

Был плюс — остался плюс. Логично: квадрат любого числа неотрицателен, поэтому такой множитель вообще не умеет быть отрицательным. Он только «касается» нуля в точке $x=2$ и идёт дальше вверх.

А с третьей степенью иначе: $(-1)^3=-1$, знак сохраняется от самой скобки. Поэтому нечётная степень ведёт себя так же, как обычная одиночная скобка.

10. Пример 3. Корень чётной кратности

Задача. Решить неравенство

$$(x-1)^2(x+3)<0.$$

Нули: $x=1$ (кратность 2, чётная) и $x=-3$ (кратность 1, нечётная).

По возрастанию: $-3$, затем $1$. Промежутки:

$$(-\infty;-3), \qquad (-3;1), \qquad (1;+\infty).$$

Начинаем справа, $x=2$:

$$(2-1)^2(2+3)=1\cdot 5=5>0.$$

Плюс. Идём влево:

• через $x=1$ знак не меняется (кратность чётная) — значит, на $(-3;1)$ тоже плюс;
• через $x=-3$ знак меняется (кратность нечётная) — значит, на $(-\infty;-3)$ минус.

Нам нужен минус, и он всего один. Неравенство строгое, границы не берём.

Ответ: $(-\infty;-3)$

Обратите внимание: точка $x=1$ не вошла, хотя вокруг неё плюсы. Она нам и не нужна — там выражение равно нулю, а ноль не меньше нуля.

11. Пример 4. Нестрогое неравенство и кратность

Задача. Решить неравенство

$$(x+2)^2(x-4)\ge 0.$$

Нули: $x=-2$ (кратность 2) и $x=4$ (кратность 1).

Справа при $x=5$:

$$(5+2)^2(5-4)=49\cdot 1>0.$$

Через $x=4$ знак меняется, через $x=-2$ нет:

Нужно $\ge 0$. Плюсовой промежуток один: $(4;+\infty)$, и точку $4$ добавляем, потому что неравенство нестрогое.

Но это ещё не всё. Проверим точку $x=-2$:

$$(-2+2)^2(-2-4)=0\cdot(-6)=0.$$

Ноль! А нам как раз разрешено «равно нулю». Вокруг $-2$ стоят минусы, поэтому она не приклеивается ни к какому промежутку и входит в ответ как одинокая точка.

Ответ: $\{-2\}\cup[4;+\infty)$

Такие «точки-одиночки» очень любят на экзамене. Всегда проверяйте корни чётной кратности в нестрогих неравенствах.

12. Квадратные неравенства

Квадратные неравенства решаются тем же методом. Единственное дополнение — сначала надо разложить трёхчлен на множители.

Возьмём

$$x^2-x-6\ge 0.$$

Ищем два числа, сумма которых $1$ (это $-b$), а произведение $-6$ (это $c$). Подходят $3$ и $-2$. Значит:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Если теорема Виета не срабатывает — считаем дискриминант, это всегда рабочий вариант.

Получаем знакомый вид:

$$(x-3)(x+2)\ge 0.$$

Нули: $-2$ и $3$. Проверим середину, $x=0$:

$$(0-3)(0+2)=-6<0.$$

Неравенство нестрогое, корни включаем:

Ответ: $(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$

Полезное наблюдение

Для квадратного трёхчлена с двумя разными корнями и положительным старшим коэффициентом всегда так: между корнями минус, снаружи плюс. Это ровно то, что мы знаем про параболу с ветвями вверх — она опускается ниже оси только между точками пересечения.

13. Пример 5. Квадратное неравенство со знаком «меньше»

Задача. Решить неравенство

$$x^2+5x+6<0.$$

Раскладываем: нужны числа с суммой $-5$ и произведением $6$. Это $-2$ и $-3$:

$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$$

Нули: $-2$ и $-3$. По возрастанию — $-3$, потом $-2$. Здесь легко ошибиться и записать их «как получилось», поэтому лишний раз сверьтесь.

По наблюдению выше: между корнями минус, снаружи плюс. Нам нужен минус:

Ответ: $(-3;-2)$

14. Пример 6. Минус перед $x^2$

Задача. Решить неравенство

$$-x^2+4x+5\ge 0.$$

С отрицательным старшим коэффициентом работать неудобно, поэтому вынесем минус за скобку:

$$-x^2+4x+5=-(x^2-4x-5).$$

Теперь раскладываем то, что внутри: сумма $4$, произведение $-5$, это $5$ и $-1$:

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$

Итого решаем

$$-(x-5)(x+1)\ge 0.$$

Нули: $-1$ и $5$. Проверим середину, $x=0$:

$$-(0-5)(0+1)=-(-5)=5>0.$$

Между корнями плюс, снаружи минус — всё перевернулось из-за минуса впереди. Нам нужно $\ge 0$, корни включаем:

Ответ: $[-1;5]$

15. Дробно-рациональные неравенства

Дробно-рациональное неравенство — это когда переменная сидит в знаменателе:

$$\frac{x-4}{x+1}\ge 0.$$

Хорошая новость: сам метод не меняется. Знак дроби определяется точно так же, как знак произведения, ведь деление на положительное сохраняет знак, а на отрицательное — переворачивает. Поэтому $\dfrac{+}{-}$ и $(+)\cdot(-)$ дают один и тот же результат.

Плохая новость: появляется ловушка со знаменателем.

Нули знаменателя всегда выколотые. Они не входят в ответ даже при знаках $\ge$ и $\le$, потому что в этих точках дроби просто не существует.

16. Пример 7. Простая дробь

Задача. Решить неравенство

$$\frac{x-4}{x+1}\ge 0.$$

Работаем в два захода. Сначала числитель:

$$x-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=4.$$

Это точка, где вся дробь равна нулю. Она нам подходит, ведь неравенство нестрогое.

Теперь знаменатель:

$$x+1=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-1.$$

Запрещённая точка.

По возрастанию: $-1$, затем $4$. Промежутки и знаки:

Берём плюсы плюс точку $x=4$. А вот $-1$ не берём ни при каких условиях — отсюда круглая скобка.

Ответ: $(-\infty;-1)\cup[4;+\infty)$

Заметьте разницу в скобках внутри одного ответа: слева круглая (запрещённая точка), справа квадратная (нуль числителя). Это не опечатка, а суть задачи.

17. Пример 8. Дробь с несколькими множителями

Задача. Решить неравенство

$$\frac{(x-1)(x+3)}{x-5}<0.$$

Нули числителя: $x=1$ и $x=-3$. Нуль знаменателя: $x=5$.

Складываем все три точки в один список по возрастанию — числитель и знаменатель тут не разделяем, для расстановки знаков они равноправны:

$$-3, \qquad 1, \qquad 5.$$

Все точки простой кратности, значит, знак чередуется через каждую. Проверим справа, $x=6$:

$$\frac{5\cdot 9}{1}=45>0.$$

Нужен минус. Неравенство строгое, так что все границы круглые:

Ответ: $(-\infty;-3)\cup(1;5)$

18. Пример 9. Сокращение одинаковых множителей

А вот задача, на которой спотыкаются чаще всего. Разберём медленно.

$$\frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-2)(x-5)}\ge 0.$$

Скобка $(x-2)$ есть и сверху, и снизу. Руки тянутся сократить — и это правильно, но сначала выпишем запреты, пока знаменатель ещё цел:

$$(x-2)(x-5)\ne 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ne 2, \quad x\ne 5.$$

Почему это надо сделать заранее? Потому что после сокращения скобка $(x-2)$ из знаменателя исчезнет, и про запрет легко забыть. А исходная дробь при $x=2$ не существует — сокращение этого факта не отменяет.

Теперь сокращаем:

$$\frac{(x-2)^3(x+1)}{(x-2)(x-5)}=\frac{(x-2)^2(x+1)}{x-5}, \qquad x\ne 2.$$

Важные точки: $x=-1$ (нуль числителя), $x=2$ (запрещённая), $x=5$ (нуль знаменателя).

Расставляем знаки. Множитель $(x-2)^2$ в чётной степени, поэтому через $x=2$ знак не переворачивается:

Нужно $\ge 0$: берём плюсы и нули числителя.

• Точка $x=-1$ входит — там дробь равна нулю, это разрешено.
• Точка $x=2$ не входит — исходной дроби в ней нет.
• Точка $x=5$ не входит — нуль знаменателя.

Ответ: $(-\infty;-1]\cup(5;+\infty)$

Сократили множитель — запрещённая точка всё равно осталась запрещённой. Она никуда не делась, просто перестала быть видна в формуле.

19. Пример 10. Дробь с квадратными трёхчленами

Задача. Решить неравенство

$$\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}\le 0.$$

Пока стоят трёхчлены, метод интервалов применять не к чему. Раскладываем и числитель, и знаменатель.

Числитель — разность квадратов, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Знаменатель — по Виету, сумма $5$, произведение $6$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Получаем

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}\le 0.$$

Сразу фиксируем запреты: $x\ne 2$, $x\ne 3$.

Сокращаем $(x-3)$, не забывая о запрете:

$$\frac{x+3}{x-2}\le 0, \qquad x\ne 3.$$

Важные точки: $-3$, $2$, $3$. Знаки:

Через $x=3$ знак не меняется, и это нормально: после сокращения там вообще нет никакого множителя, точка просто выколота.

Нужно $\le 0$: берём минус и нуль числителя $x=-3$.

Ответ: $[-3;2)$

20. Почему нельзя умножать на знаменатель

Разберём самую популярную ошибку в дробных неравенствах.

$$\frac{x+1}{x-2}>3.$$

Очень хочется умножить обе части на $x-2$ и покончить с дробью. Но так делать нельзя, и вот почему.

Вспомним правило: при умножении неравенства на положительное число знак сохраняется, а на отрицательное — переворачивается. Так вот, мы не знаем, какое там $x-2$. При $x=5$ оно положительно, при $x=0$ отрицательно. Значит, мы не знаем, оставлять знак $>$ или менять на $<$.

Можно, конечно, разобрать оба случая. Но зачем, если есть безопасный путь — перенести всё влево:

$$\frac{x+1}{x-2}-3>0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{x+1-3(x-2)}{x-2}>0.$$

Раскрываем скобки в числителе, внимательно следя за минусом перед тройкой:

$$\frac{x+1-3x+6}{x-2}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-2x+7}{x-2}>0.$$

Дальше обычная схема. Нуль числителя:

$$-2x+7=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7}{2}.$$

Нуль знаменателя: $x=2$, он запрещён.

Знаки (не забудьте: перед $x$ в числителе стоит минус, поэтому справа будет минус, а не плюс):

Ответ: $\left(2;\dfrac{7}{2}\right)$

21. Пример 11. Сначала раскрываем скобки

Задача. Решить неравенство

$$(x-1)(x+4)\le 2x+8.$$

Слева уже есть множители, и может показаться, что можно сразу работать с ними. Нельзя: справа не ноль. Пока справа что-то есть, метод интервалов неприменим.

Переносим:

$$(x-1)(x+4)-2x-8\le 0.$$

Раскрываем скобки:

$$x^2+4x-x-4-2x-8\le 0.$$

Приводим подобные:

$$x^2+x-12\le 0.$$

Раскладываем заново: сумма $-1$, произведение $-12$, это $4$ и $-3$:

$$(x+4)(x-3)\le 0.$$

Да, мы разложили скобки, а потом собрали новые. Так бывает часто — старое разложение после переноса уже не годится.

Корни $-4$ и $3$, между корнями минус, неравенство нестрогое:

Ответ: $[-4;3]$

22. Пример 12. Рациональное неравенство с переносом

Задача. Решить неравенство

$$\frac{2x-1}{x+3}\le 1.$$

Справа единица, значит, переносим:

$$\frac{2x-1}{x+3}-1\le 0.$$

Единицу представим как дробь с тем же знаменателем:

$$\frac{2x-1}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}\le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2x-1-(x+3)}{x+3}\le 0.$$

Аккуратно раскрываем числитель:

$$2x-1-x-3=x-4.$$

Получаем

$$\frac{x-4}{x+3}\le 0.$$

Точки: $x=4$ (нуль числителя, входит), $x=-3$ (нуль знаменателя, запрещён).

Ответ: $(-3;4]$

23. Типичные ошибки

Ошибка 1. Включили нуль знаменателя

В неравенстве $\dfrac{x-1}{x+2}\ge 0$ точка $x=-2$ не входит в ответ. Знак $\ge$ разрешает нули числителя, но не отменяет запрет на деление на ноль. Дробь не может быть равна нулю там, где её вообще нет.

Ошибка 2. Не перенесли всё в одну сторону

В $\dfrac{x+1}{x-4}>2$ нельзя умножать на $x-4$. Правильно: $\dfrac{x+1}{x-4}-2>0$.

Ошибка 3. Сократили и забыли запрет

Из $\dfrac{(x-3)(x+1)}{x-3}\le 0$ после сокращения получается $x+1\le 0$, то есть $x\le -1$. Здесь запрет $x\ne 3$ на ответ не влияет (тройки в нём и так нет), но привычка выписывать запреты до сокращения спасёт вас в задачах, где точка попадает внутрь ответа.

Ошибка 4. Перепутали кратность

Через корень множителя $(x-5)^2$ знак не меняется. Если машинально чередовать знаки, весь дальнейший ответ поедет.

Ошибка 5. Точки не по порядку

Корни $-2$ и $-3$ на прямой стоят как $-3$, затем $-2$. Если записать наоборот, знаки встанут не туда. Всегда сортируйте точки по возрастанию перед расстановкой знаков.

24. Мини-памятка

Как решать методом интервалов:

1. Перенеси всё в одну сторону, справа — ноль.
2. Упрости: скобки, подобные, общий знаменатель.
3. Разложи на множители.
4. Выпиши запреты, если есть дробь.
5. Найди нули числителя.
6. Отметь все точки по возрастанию.
7. Определи знак справа, дальше учитывай кратности.
8. Выбери нужные промежутки по знаку неравенства.
9. Проверь границы: круглая или квадратная скобка.
10. Нули знаменателя не включай никогда.

25. Тренировочные задания с ответами

Решайте сами, ответ подглядывайте только после попытки. Иначе тренировка не работает.

Блок 1. Произведения

Блок 2. Квадратные неравенства

Задания 10 и 11 стоят рядом не случайно. В обоих $x^2+2x+1=(x+1)^2$, квадрат всегда неотрицателен. Но в №10 знак $\ge$ разрешает ноль, поэтому подходят все числа. А в №11 знак строгий, и точку $x=-1$ приходится выколоть. Одна чёрточка в знаке — и ответ другой.

Блок 3. Дробно-рациональные

Блок 4. С переносом

26. Подведём итоги

Метод интервалов заменяет громоздкое построение графиков простой процедурой: нашли важные точки, разбили прямую, определили знаки, выбрали нужное. Один раз освоив схему, вы будете решать такие неравенства почти механически.

Что стоит держать в голове:

• справа обязательно ноль, иначе метод не работает;
• выражение нужно разложить на множители;
• нули числителя — кандидаты в ответ;
• нули знаменателя запрещены всегда;
• строгое неравенство — нули не берём;
• нестрогое — нули числителя берём;
• нечётная кратность меняет знак, чётная не меняет;
• точки на прямой располагаем по возрастанию;
• в нестрогих неравенствах проверяйте «точки-одиночки»;
• скобки в ответе — часть решения, а не оформление.

Метод интервалов = важные точки + знаки на промежутках + правильные скобки в ответе.

27. Примеры задач в формате ЕГЭ

Задача №1. Показательное неравенство

Задача. Решите неравенство

$$9^{\frac{1}{x}-1} + 2\cdot 3^{\frac{1}{x}-1} - 3 \ge 0.$$

Источник: Банк ЕГЭ

С виду неравенство не имеет ничего общего с методом интервалов: показательное, да ещё и с дробью в показателе. Но после одной замены оно превратится в квадратное, а в самом конце — в дробно-рациональное. То есть метод интервалов понадобится дважды, и оба раза в чистом виде.

Шаг 1. Приводим к одному основанию.

Мешает то, что оснований два: $9$ и $3$. Но девятка — это $3^2$, поэтому первое слагаемое можно переписать:

$$9^{\frac{1}{x}-1} = \left(3^2\right)^{\frac{1}{x}-1} = \left(3^{\frac{1}{x}-1}\right)^2.$$

Здесь работает правило $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$: произведение показателей от порядка не зависит, поэтому квадрат можно «вынести наружу».

Теперь видно, что в неравенстве встречается одно и то же выражение $3^{\frac{1}{x}-1}$ — один раз в квадрате, один раз само по себе.

Шаг 2. Делаем замену.

$$t = 3^{\frac{1}{x}-1}.$$

И сразу фиксируем ограничение:

$$t > 0.$$

Откуда взялось $t>0$? Показательная функция $3^{\,\square}$ положительна при любом показателе. Тройка в любой степени — положительное число: $3^2=9$, $3^0=1$, $3^{-5}=\frac{1}{243}$. Нулём она не становится никогда, отрицательной тоже. Эта строчка выглядит формальностью, но именно она отсечёт половину корней на четвёртом шаге.

Область определения тоже отметим: в показателе стоит $\frac{1}{x}$, значит

$$x \ne 0.$$

Шаг 3. Получаем квадратное неравенство.

Подставляем замену:

$$t^2 + 2t - 3 \ge 0.$$

Раскладываем на множители. По теореме Виета нужны два числа с суммой $-2$ и произведением $-3$ — это $-3$ и $1$:

$$(t+3)(t-1) \ge 0.$$

Шаг 4. Метод интервалов по $t$ — но только на разрешённой части оси.

Нули: $t=-3$ и $t=1$. Формально они делят прямую на три промежутка, но мы помним про ограничение $t>0$, поэтому всё, что левее нуля, для нас не существует. Точка $t=-3$ оказывается в запрещённой зоне и в ответ попасть не может.

Расставим знаки. Оба корня простой кратности, старший коэффициент положительный, значит справа плюс, дальше чередуем:

Нам нужно $\ge 0$, то есть плюс или ноль. На разрешённой части оси это только промежуток $(1;+\infty)$ плюс сама точка $t=1$, где произведение обращается в нуль (неравенство нестрогое, поэтому она входит):

$$t \ge 1.$$

Если бы про условие $t>0$ забыли, ответ получился бы $t\le -3$ или $t\ge 1$, и лишняя ветка потянула бы за собой несуществующие значения $x$. Проверить, что $t=-3$ невозможно, стоит полминуты: уравнение $3^{\frac{1}{x}-1}=-3$ решений не имеет вообще.

Шаг 5. Возвращаемся к переменной $x$.

$$3^{\frac{1}{x}-1} \ge 1.$$

Чтобы сравнить показатели, нужны одинаковые основания. Единицу представляем как $3^0$:

$$3^{\frac{1}{x}-1} \ge 3^0.$$

Основание $3>1$, а значит показательная функция возрастает: чем больше показатель, тем больше значение. Поэтому неравенство между значениями равносильно такому же неравенству между показателями, знак сохраняется:

$$\frac{1}{x} - 1 \ge 0.$$

Это ключевая деталь всех показательных неравенств. При основании больше единицы знак сохраняется, при основании от нуля до единицы (например $\left(\frac12\right)^{\,\square}$) функция убывает и знак переворачивается. Здесь основание $3$, так что переворачивать нечего — но проверять основание нужно всегда.

Шаг 6. Решаем дробно-рациональное неравенство.

$$\frac{1}{x} - 1 \ge 0.$$

Умножать на $x$ нельзя: мы не знаем его знак, и при отрицательном $x$ неравенство пришлось бы переворачивать. Действуем по правилу из основной статьи — приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x} - \frac{x}{x} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-x}{x} \ge 0.$$

Важные точки: $x=1$ — нуль числителя, входит в ответ; $x=0$ — нуль знаменателя, выколот навсегда.

Расставляем знаки. Обратите внимание: в числителе стоит $1-x$, то есть перед $x$ минус, поэтому справа будет минус, а не плюс.

Нужен плюс и нули числителя. Плюсовой промежуток один — $(0;1)$. Точку $x=1$ добавляем (там дробь равна нулю, а знак нестрогий), точку $x=0$ не добавляем ни при каких условиях.

Ответ: $x \in (0;1]$

Проверка на числах

Полезная привычка: подставить в исходное неравенство одно число из ответа и одно снаружи.

Возьмём $x=1$ (граница ответа). Тогда $\frac{1}{x}-1 = 0$, то есть $t = 3^0 = 1$:

$$9^0 + 2\cdot 3^0 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \ge 0.$$

Ноль подходит, потому что знак нестрогий — граница включена верно.

Возьмём $x=2$ (снаружи). Тогда $\frac{1}{x}-1 = -\frac12$, то есть $t = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}58$:

$$t^2 + 2t - 3 \approx 0{,}33 + 1{,}16 - 3 = -1{,}51 < 0.$$

Не подходит, как и должно быть. А при $x=-1$ показатель равен $-2$, значит $t=\frac19$, и сумма тем более отрицательна — вся левая полуось действительно выпадает.

Где здесь теряют баллы

• Забыли $t>0$ и оставили в ответе ветку $t\le -3$. Самая частая ошибка в задачах с заменой: ограничение на новую переменную пишется сразу, а не «потом вспомним».
• Умножили на $x$ в неравенстве $\frac{1}{x}-1\ge 0$ и получили $1-x\ge 0$, то есть $x\le 1$. В такой ответ попадают все отрицательные числа, а они решениями не являются.
• Включили $x=0$ в ответ. При $x=0$ выражение $\frac{1}{x}$ не существует, поэтому скобка обязательно круглая — даже при нестрогом знаке.
• Перепутали направление при переходе от $3^{A}\ge 3^{B}$ к $A\ge B$. Проверяйте основание: больше единицы — знак сохраняется.

Схема задачи целиком: одно основание → замена с условием $t>0$ → квадратное неравенство и метод интервалов → обратная замена → сравнение показателей → дробно-рациональное неравенство и снова метод интервалов.

Задача №2. Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

$$\log_8(x^3-3x^2+3x-1)\ge \log_2(x^2-1)-5$$

Источник: основная волна ЕГЭ-2023

Область допустимых значений

Оба логарифма должны иметь положительные аргументы:

$$(*)\quad \begin{cases} x^3-3x^2+3x-1>0,\\ x^2-1>0. \end{cases}$$

Первое выражение — куб разности, второе — разность квадратов:

$$\begin{cases} (x-1)^3>0,\\ (x-1)(x+1)>0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x>1,\\ x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty). \end{cases}$$

Пересекаем условия:

$$x\in(1;+\infty).$$

Преобразование неравенства

Заменяем аргумент на куб, а число $5$ — на логарифм: $5=\log_2 32$.

$$\log_{2^3}(x-1)^3\ge \log_2(x^2-1)-\log_2 32$$

Слева выносим степени из основания и аргумента, справа сворачиваем разность логарифмов в логарифм дроби:

$$\frac{3}{3}\log_2(x-1)\ge \log_2\left(\frac{x^2-1}{32}\right)$$

$$\log_2(x-1)\ge \log_2\left(\frac{x^2-1}{32}\right)$$

Основание логарифмов $2>1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется:

$$x-1\ge \frac{x^2-1}{32}$$

Решение рационального неравенства

Переносим всё влево и умножаем на $32>0$:

$$32(x-1)-(x^2-1)\ge 0$$

$$-x^2+32x-31\ge 0$$

Умножаем на $-1$ и переворачиваем знак:

$$x^2-32x+31\le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(x-31)\le 0$$

Нули: $x=1$ и $x=31$. Оба простой кратности, старший коэффициент положительный, значит, между корнями минус, снаружи плюс.

[ИЗОБРАЖЕНИЕ: числовая ось с точками 1 и 31, знаки $+$, $-$, $+$]

Неравенство нестрогое, корни включаем:

$$x\in[1;31]$$

Учёт ограничений

Пересекаем с областью допустимых значений $(*)$, где $x>1$. Точка $x=1$ выпадает: в ней логарифмы не определены.

$$x\in(1;31]$$

Ответ: $x\in(1;31]$

Задача №3. Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{0{,}5}^2(x^4)-x^2}{100-x^2}\le 1$$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026. Вариант 9.

Область допустимых значений

Аргумент логарифма положителен:

$$(*)\quad x^4>0 \quad\Longrightarrow\quad x\ne 0$$

Знаменатель не равен нулю: $100-x^2\ne 0$, то есть $x\ne\pm 10$.

Преобразование неравенства

Переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\log_{0{,}5}^2(x^4)-x^2}{100-x^2}\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\log_{0{,}5}^2(x^4)-x^2-100+x^2}{100-x^2}\le 0$$

Слагаемые $-x^2$ и $+x^2$ взаимно уничтожаются:

$$\frac{\log_{0{,}5}^2(x^4)-100}{100-x^2}\le 0$$

Числитель — разность квадратов, знаменатель тоже. Умножаем на $-1$ (знак переворачивается):

$$\frac{\left(10-\log_{0{,}5}(x^4)\right)\left(10+\log_{0{,}5}(x^4)\right)}{(10-x)(10+x)}\ge 0$$

Упрощение логарифма

Основание $0{,}5=2^{-1}$, аргумент $x^4=(x^2)^2$:

$$\log_{0{,}5}(x^4)=\log_{2^{-1}}(x^4)=-\log_2(x^4)=-2\log_2 x^2$$

Подставляем:

$$\frac{\left(10+2\log_2 x^2\right)\left(10-2\log_2 x^2\right)}{(10-x)(10+x)}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\left(5+\log_2 x^2\right)\left(5-\log_2 x^2\right)}{(10-x)(10+x)}\ge 0$$

Двойки вынесли и сократили: положительный множитель $4$ на знак не влияет. Теперь представим числа как логарифмы: $5=\log_2 2^5$, $-5=\log_2 2^{-5}$.

$$\frac{\left(\log_2 x^2-\log_2 2^{-5}\right)\left(\log_2 2^5-\log_2 x^2\right)}{(10-x)(10+x)}\ge 0$$

Метод рационализации

Разность логарифмов $\log_a f-\log_a g$ при основании $a>1$ имеет тот же знак, что и разность $f-g$. Основание $2>1$, поэтому логарифмы заменяем на аргументы:

$$\frac{\left(x^2-2^{-5}\right)\left(2^5-x^2\right)}{(10-x)(10+x)}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\left(x^2-2^{-5}\right)\left(x^2-2^5\right)}{(10-x)(10+x)}\le 0$$

Раскладываем скобки как разности квадратов. Здесь $2^{-5}=\dfrac{1}{32}=\left(\dfrac{1}{4\sqrt2}\right)^2$ и $2^5=32=\left(4\sqrt2\right)^2$:

$$\frac{\left(x-\dfrac{1}{4\sqrt2}\right)\left(x+\dfrac{1}{4\sqrt2}\right)\left(x-4\sqrt2\right)\left(x+4\sqrt2\right)}{(10-x)(10+x)}\le 0$$

Расстановка знаков

Важные точки по возрастанию:

$$-10,\quad -4\sqrt2,\quad -\frac{1}{4\sqrt2},\quad \frac{1}{4\sqrt2},\quad 4\sqrt2,\quad 10$$

Точки $\pm 10$ — нули знаменателя, они выколоты. Остальные четыре — нули числителя, входят в ответ, потому что неравенство нестрогое. Все корни простой кратности, значит, знак чередуется через каждый.

Проверим самый правый промежуток, $x=20$:

$$\frac{\left(400-\frac{1}{32}\right)(400-32)}{(10-20)(10+20)}=\frac{(+)\cdot(+)}{(-)\cdot(+)}<0$$

Справа минус, дальше чередуем влево.

[ИЗОБРАЖЕНИЕ: числовая ось, выколотые точки $-10$ и $10$, закрашенные $-4\sqrt2$, $-\frac{1}{4\sqrt2}$, $\frac{1}{4\sqrt2}$, $4\sqrt2$; знаки $-,+,-,+,-,+,-$]

Выбор промежутков

Нужен знак $\le 0$, то есть берём минусы вместе с нулями числителя:

$$x\in(-\infty;-10)\cup\left[-4\sqrt2;-\frac{1}{4\sqrt2}\right]\cup\left[\frac{1}{4\sqrt2};4\sqrt2\right]\cup(10;+\infty)$$

Ограничение $x\ne 0$ из $(*)$ на ответ не влияет: ноль попал внутрь промежутка со знаком плюс, который мы и так не берём.

Ответ: $x\in(-\infty;-10)\cup\left[-4\sqrt2;-\dfrac{1}{4\sqrt2}\right]\cup\left[\dfrac{1}{4\sqrt2};4\sqrt2\right]\cup(10;+\infty)$