Логарифмические неравенства без ошибок

В логарифмических неравенствах вычисления редко бывают главной трудностью. Гораздо важнее правильно определить область допустимых значений, понять, возрастает или убывает логарифмическая функция, и проследить, чтобы каждое выполненное преобразование было равносильным.

В этой статье все основные методы разобраны последовательно и подробно: от определения логарифма до сложных комбинированных задач.

Что такое логарифм и откуда берутся ограничения

Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число? Запись $\log_a b=c$ означает, что

$$a^c=b.$$

Например, $\log_2 8=3$, потому что $2^3=8$. Аналогично $\log_3\frac19=-2$, потому что $3^{-2}=\frac19$.

Определение логарифма

$$\log_a b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b,$$

где обязательно выполняются условия

$$a>0,\qquad a\ne1,\qquad b>0.$$

Почему основание должно быть положительным

Логарифмическая функция рассматривается как обратная к показательной функции $y=a^x$. Чтобы степень была определена для любых действительных показателей и образовывала непрерывную функцию, основание должно быть положительным.

Почему основание не может быть равно единице

Если $a=1$, то $1^x=1$ при любом $x$. По числу $1$ невозможно однозначно восстановить показатель степени. Поэтому выражение $\log_1 b$ не определяется.

Почему аргумент должен быть строго положительным

Положительное число в любой действительной степени остаётся положительным. Следовательно, равенство $a^c=b$ при допустимом основании невозможно, если $b\le0$.

Важно. Все ограничения логарифма следуют из его определения. Поэтому ОДЗ — не формальная приписка к решению, а условие, без которого исходное выражение не имеет смысла.

Область допустимых значений

Для выражения $\log_{a(x)}f(x)$ нужно проверить и основание, и аргумент. Полная система ограничений имеет вид

$$\begin{cases} a(x)>0,\\ a(x)\ne1,\\ f(x)>0. \end{cases}$$

Для основания должны выполняться условия

$$a(x)>0,\qquad a(x)\ne1.$$

Для аргумента должно выполняться условие

$$f(x)>0.$$

Если основание является постоянным допустимым числом, например $2$, $5$ или $\frac13$, условия на него можно отдельно не записывать. В этом случае достаточно потребовать положительность аргумента.

Если основание зависит от $x$, необходимо проверить все три условия. Запрет $a(x)\ne1$ особенно часто забывают.

Пример

Найти область допустимых значений выражения

$$\log_{x-1}(x^2-5x+6).$$

1. Основание $x-1$ должно быть положительным:

   $$x-1>0.$$

   Отсюда получаем $x>1$.

2. Основание не должно быть равно единице:

   $$x-1\ne1.$$

   Следовательно, $x\ne2$.

3. Аргумент должен быть строго положительным:

   $$x^2-5x+6>0.$$

4. Раскладываем квадратный трёхчлен:

   $$(x-2)(x-3)>0.$$

   Произведение положительно вне корней:

   $$x<2 \quad\text{или}\quad x>3.$$

5. Пересекаем условие на аргумент с условиями $x>1$ и $x\ne2$: $$x\in(1;2)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

$$\boxed{x\in(1;2)\cup(3;+\infty)}$$

Важно. Если в исходном выражении несколько логарифмов, ОДЗ выписывается для каждого из них до объединения и сокращения. Преобразованное выражение иногда имеет более широкую область определения, чем исходное, но добавлять новые значения переменной нельзя.

Монотонность логарифмической функции

После записи ОДЗ нужно посмотреть на основание логарифма. Именно оно определяет, сохраняется ли знак при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов.

Основание больше единицы

$$a>1: \quad \log_a u>\log_a v \Longleftrightarrow u>v.$$

Основание меньше единицы

$$0<a<1: \quad \log_a u>\log_a v \Longleftrightarrow u<v.$$

При $a>1$ функция $y=\log_a x$ возрастает. Большему аргументу соответствует большее значение логарифма, поэтому знак сохраняется.

При $0<a<1$ функция убывает. Большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма, поэтому знак разворачивается.

Важно. Сравнивать аргументы можно только при условиях

$$u>0,\qquad v>0.$$

Эти условия должны следовать из исходного ОДЗ.

Как сравнить логарифм с числом

Число $c$ можно представить в виде логарифма с тем же основанием:

$$c=\log_a a^c.$$

Поэтому при $a>1$

$$\log_a f(x)>c \Longleftrightarrow f(x)>a^c,$$

а при $0<a<1$

$$\log_a f(x)>c \Longleftrightarrow f(x)<a^c.$$

Пример 1

Решить неравенство

$$\log_2(x-1)>3.$$

1. Записываем ОДЗ:

   $$x-1>0,$$

   поэтому $x>1$.

2. Представляем число $3$ как логарифм:

   $$3=\log_2 2^3=\log_2 8.$$

3. Получаем сравнение двух логарифмов с основанием $2>1$:

   $$\log_2(x-1)>\log_2 8.$$

4. Функция возрастает, поэтому сравниваем аргументы с сохранением знака:

   $$x-1>8.$$

5. Получаем $x>9$. Все такие значения входят в ОДЗ.

Ответ

$$\boxed{x\in(9;+\infty)}$$

Пример 2

Решить неравенство

$$\log_{\frac13}(2x-1)\le-2.$$

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

   $$2x-1>0,$$

   поэтому $x>\frac12$.

2. Представляем правую часть в виде логарифма:

   $$-2= \log_{\frac13} \left(\frac13\right)^{-2} = \log_{\frac13}9.$$

3. Основание $\frac13$ находится между нулём и единицей. Функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак разворачивается:

   $$2x-1\ge9.$$

4. Решаем линейное неравенство:

   $$2x\ge10,\qquad x\ge5.$$

5. Условие $x\ge5$ автоматически удовлетворяет ОДЗ $x>\frac12$.

Ответ

$$\boxed{x\in[5;+\infty)}$$

Свойства логарифмов и условия их применения

Свойства логарифмов позволяют объединять выражения, выносить степени и приводить разные основания к одному. Однако каждое свойство применяется только на области, где все исходные логарифмы определены.

Логарифм произведения

$$\log_a u+\log_a v=\log_a(uv).$$

Логарифм частного

$$\log_a u-\log_a v=\log_a\frac uv.$$

Логарифм степени

$$\log_a u^k=k\log_a u.$$

Основное логарифмическое тождество

$$a^{\log_a u}=u.$$

Во всех этих формулах основание должно удовлетворять условиям $a>0$, $a\ne1$, а исходные аргументы $u$ и $v$ должны быть положительными.

Типичная ошибка. Логарифм суммы не раскладывается:

$$\log_a(u+v)\ne\log_a u+\log_a v.$$

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения, а не в логарифм суммы.

Почему ОДЗ записывается до объединения

Выражение

$$\log_a u+\log_a v$$

требует одновременного выполнения условий $u>0$ и $v>0$. После объединения получается $\log_a(uv)$, которому формально достаточно условия $uv>0$.

Но произведение положительно не только тогда, когда оба множителя положительны, но и тогда, когда оба отрицательны. Второй случай не подходит для исходных логарифмов. Поэтому условие $uv>0$ не может заменить исходное ОДЗ.

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует:

$$a^{\log_a u}=u.$$

Это равенство работает при $a>0$, $a\ne1$ и $u>0$. Оно позволяет мгновенно упростить выражение, в котором показатель степени является логарифмом по тому же основанию.

Например:

$$5^{\log_5(x+2)}=x+2,$$

но только при $x+2>0$.

Базовые виды логарифмических неравенств

Логарифм с квадратным аргументом

Решить неравенство

$$\log_2(x^2-1)<3.$$

1. Начинаем с ОДЗ:

   $$x^2-1>0.$$

   Раскладываем:

   $$(x-1)(x+1)>0.$$

   Получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

2. Основание $2>1$, поэтому логарифмическая функция возрастает. Переходим к аргументу с сохранением знака:

   $$x^2-1<2^3.$$

3. Упрощаем:

   $$x^2-1<8,$$

   $$x^2<9.$$

4. Последнее неравенство даёт:

   $$-3<x<3.$$

5. Пересекаем найденный промежуток с ОДЗ: $$(-3;3) \cap \left( (-\infty;-1)\cup(1;+\infty) \right).$$

Ответ

$$\boxed{x\in(-3;-1)\cup(1;3)}$$

Важно. Условие $x^2-1<8$ не обеспечивает положительность аргумента. Например, при $x=0$ оно выполняется, но исходный логарифм не существует. Поэтому пересечение с ОДЗ обязательно.

Двойное неравенство

Решить неравенство

$$1\le\log_2(x+3)<4.$$

Основание $2>1$, поэтому функция возрастает. Обе части двойного неравенства можно одновременно перевести в сравнение аргумента со степенями двойки:

$$2^1\le x+3<2^4.$$

$$2\le x+3<16.$$

Вычитаем $3$ из всех частей:

$$-1\le x<13.$$

ОДЗ имеет вид $x+3>0$, то есть $x>-3$. На найденном промежутке оно выполняется автоматически.

Ответ

$$\boxed{x\in[-1;13)}$$

Объединение нескольких логарифмов

Если в неравенстве встречаются логарифмы с одинаковыми основаниями, их часто удобно объединить. Сумма превращается в логарифм произведения, а разность — в логарифм частного.

Сумма логарифмов

Решить неравенство

$$\log_2(x-1)+\log_2(x-3)\le3.$$

1. Выписываем ОДЗ каждого исходного логарифма:

   $$x-1>0,\qquad x-3>0.$$

   Более сильным является второе условие, поэтому

   $$x>3.$$

2. На найденном ОДЗ объединяем логарифмы:

   $$\log_2\bigl((x-1)(x-3)\bigr)\le3.$$

3. Основание $2>1$, поэтому знак сохраняется:

   $$(x-1)(x-3)\le8.$$

4. Раскрываем скобки:

   $$x^2-4x+3\le8.$$

   Переносим всё влево:

   $$x^2-4x-5\le0.$$

5. Раскладываем квадратный трёхчлен:

   $$(x+1)(x-5)\le0.$$

   Произведение неположительно между корнями:

   $$x\in[-1;5].$$

6. Пересекаем с исходным ОДЗ $x>3$. Ответ

$$\boxed{x\in(3;5]}$$

Разность логарифмов

Решить неравенство

$$\log_3(x+2)-\log_3(x-1)>1.$$

1. Записываем исходное ОДЗ:

   $$x+2>0,\qquad x-1>0.$$

   Окончательно получаем $x>1$.

2. Объединяем разность логарифмов:

   $$\log_3\frac{x+2}{x-1}>1.$$

3. Представляем единицу как $\log_3 3$:

   $$\log_3\frac{x+2}{x-1}>\log_3 3.$$

4. Основание больше единицы, поэтому сравниваем аргументы:

   $$\frac{x+2}{x-1}>3.$$

5. На ОДЗ $x>1$ знаменатель $x-1$ положителен. Поэтому умножение на него не меняет знак:

   $$x+2>3(x-1).$$

6. Решаем:

   $$x+2>3x-3,$$

   $$5>2x,$$

   $$x<\frac52.$$

7. Объединяем с условием $x>1$. Ответ

$$\boxed{x\in\left(1;\frac52\right)}$$

Метод замены

Если одно и то же логарифмическое выражение повторяется несколько раз, его удобно обозначить новой переменной. После этого логарифмическое неравенство превращается в квадратное или рациональное.

Важно. При замене

$$t=\log_a x,\qquad a>0,\qquad a\ne1,$$

переменная $t$ может принимать любые действительные значения. Однако исходный логарифм требует $x>0$.

Квадратное неравенство относительно логарифма

Решить неравенство

$$(\log_2x)^2-5\log_2x+6\le0.$$

1. Записываем ОДЗ исходного логарифма:

   $$x>0.$$

2. Вводим замену:

   $$t=\log_2x.$$

3. Получаем обычное квадратное неравенство:

   $$t^2-5t+6\le0.$$

4. Раскладываем левую часть:

   $$(t-2)(t-3)\le0.$$

   Парабола направлена вверх, поэтому выражение неположительно между корнями:

   $$2\le t\le3.$$

5. Возвращаемся к исходной переменной:

   $$2\le\log_2x\le3.$$

6. Основание $2>1$, поэтому

   $$2^2\le x\le2^3.$$

   Следовательно, $$4\le x\le8.$$

Ответ

$$\boxed{x\in[4;8]}$$

Рациональное выражение относительно логарифма

Решить неравенство

$$\frac{\log_2x-1}{\log_2x+2}\ge0.$$

1. Логарифм определён при $x>0$.

2. Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

   $$\log_2x+2\ne0.$$

   Значит,

   $$\log_2x\ne-2, \qquad x\ne2^{-2}=\frac14.$$

3. Вводим замену $t=\log_2x$:

   $$\frac{t-1}{t+2}\ge0.$$

4. Критические точки:

   $$t=-2 \quad\text{и}\quad t=1.$$

   Первая точка обращает знаменатель в ноль и не включается. Вторая обращает числитель в ноль и включается.

5. Метод интервалов даёт:

   $$t\in(-\infty;-2)\cup[1;+\infty).$$

6. Возвращаемся к $x$:

   $$\log_2x<-2 \quad\text{или}\quad \log_2x\ge1.$$

7. Поскольку основание $2>1$, получаем:

   $$0<x<\frac14 \quad\text{или}\quad x\ge2.$$ Ответ

$$\boxed{ x\in \left(0;\frac14\right) \cup [2;+\infty) }$$

Переход к новому основанию

Если основания логарифмов различаются, их часто можно привести к одному основанию. Для этого используется формула

$$\log_a b= \frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Новое основание $c$ должно быть положительным и не равным единице. Кроме того, знаменатель $\log_c a$ не должен обращаться в ноль, что соответствует условию $a\ne1$.

Полезная формула. Если одно основание является степенью другого, то

$$\log_{a^k}b= \frac1k\log_a b, \qquad k\ne0.$$

Пример

Решить неравенство

$$\log_2(x-1)>\log_4(x+3).$$

1. Выписываем ОДЗ:

   $$x-1>0,\qquad x+3>0.$$

   Получаем $x>1$.

2. Поскольку $4=2^2$, переходим от основания $4$ к основанию $2$:

   $$\log_4(x+3)=\frac12\log_2(x+3).$$

3. Получаем:

   $$\log_2(x-1)> \frac12\log_2(x+3).$$

4. Умножаем обе части на положительное число $2$:

   $$2\log_2(x-1)> \log_2(x+3).$$

5. На ОДЗ $x-1>0$, поэтому коэффициент можно внести в показатель степени аргумента:

   $$\log_2(x-1)^2> \log_2(x+3).$$

6. Основание $2>1$, поэтому сравниваем аргументы:

   $$(x-1)^2>x+3.$$

7. Раскрываем скобки:

   $$x^2-2x+1>x+3,$$

   $$x^2-3x-2>0.$$

8. Корни квадратного трёхчлена:

   $$x_{1,2}= \frac{3\pm\sqrt{17}}2.$$

   Трёхчлен положителен вне корней.

9. После пересечения с ОДЗ $x>1$ остаётся только правая ветвь. Ответ

$$\boxed{ x\in \left( \frac{3+\sqrt{17}}2; +\infty \right) }$$

Взаимно обратные логарифмы

Из формулы перехода к новому основанию следует:

$$\log_a b= \frac1{\log_b a}.$$

Это свойство особенно полезно, если в одном выражении одновременно встречаются $\log_a b$ и $\log_b a$.

Пример

Решить неравенство

$$\log_x2+\log_2x\ge\frac52.$$

1. Из логарифма с основанием $x$ получаем:

   $$x>0,\qquad x\ne1.$$

2. Вводим замену:

   $$t=\log_2x.$$

   Поскольку $x\ne1$, значение $t=0$ запрещено.

3. Используем взаимную формулу:

   $$\log_x2= \frac1{\log_2x}= \frac1t.$$

4. Получаем рациональное неравенство:

   $$t+\frac1t\ge\frac52.$$

5. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю:

   $$\frac{2t^2-5t+2}{2t}\ge0.$$

6. Раскладываем числитель:

   $$\frac{(2t-1)(t-2)}{2t}\ge0.$$

7. Метод интервалов даёт:

   $$t\in \left(0;\frac12\right] \cup [2;+\infty).$$

8. Возвращаемся к $x$:

   $$0<\log_2x\le\frac12$$

   или

   $$\log_2x\ge2.$$

9. Поскольку логарифм по основанию $2$ возрастает:

   $$1<x\le\sqrt2$$

   или

   $$x\ge4.$$

Ответ $$\boxed{ x\in (1;\sqrt2] \cup [4;+\infty) }$$

Неравенства с переменным основанием

Если основание зависит от $x$, нельзя заранее сказать, сохраняется знак или разворачивается. Даже после записи ОДЗ основание может на одной части области быть больше единицы, а на другой — находиться между нулём и единицей.

Неравенство

$$\log_{a(x)}f(x)>g(x)$$

на ОДЗ разбивается на два случая:

$$\begin{cases} a(x)>1,\\ f(x)>a(x)^{g(x)}, \end{cases}$$

или

$$\begin{cases} 0<a(x)<1,\\ f(x)<a(x)^{g(x)}. \end{cases}$$

Пример

Решить неравенство

$$\log_{x-1}(x+3)>1.$$

1. Выписываем ОДЗ:

   $$x-1>0,\qquad x-1\ne1,\qquad x+3>0.$$

   Получаем:

   $$x>1,\qquad x\ne2.$$

2. Сначала рассматриваем основание больше единицы:

   $$x-1>1.$$

   Отсюда $x>2$.

3. В этом случае функция возрастает, поэтому:

   $$x+3>(x-1)^1.$$

   Получаем:

   $$x+3>x-1.$$

   Это верно при любом $x$, поэтому весь промежуток $x>2$ подходит.

4. Теперь рассматриваем основание между нулём и единицей:

   $$0<x-1<1.$$

   Отсюда:

   $$1<x<2.$$

5. На этом промежутке функция убывает, поэтому знак разворачивается:

   $$x+3<x-1.$$

6. После сокращения $x$ получается невозможное условие:

   $$3<-1.$$

   Значит, второй случай решений не даёт.

Ответ

$$\boxed{x\in(2;+\infty)}$$

Рационализация логарифмических неравенств

Рационализация позволяет не разделять решение на случаи $a(x)>1$ и $0<a(x)<1$. Вместо разности логарифмов рассматривается алгебраическое выражение того же знака.

На области допустимых значений выражения

$$\log_{a(x)}f(x)- \log_{a(x)}g(x)$$

и

$$\bigl(a(x)-1\bigr) \bigl(f(x)-g(x)\bigr)$$

имеют одинаковый знак.

Почему появляется множитель $a(x)-1$? Если основание больше единицы, этот множитель положителен и порядок аргументов сохраняется. Если основание меньше единицы, множитель отрицателен и автоматически учитывает разворот знака.

Перед рационализацией обязательно записывается ОДЗ:

$$a(x)>0,\qquad a(x)\ne1,\qquad f(x)>0,\qquad g(x)>0.$$

Пример

Решить неравенство

$$\log_{x+2}(2x+5) \ge \log_{x+2}(x+5).$$

1. Выписываем условия на основание:

   $$x+2>0,\qquad x+2\ne1.$$

   Получаем $x>-2$ и $x\ne-1$.

2. Проверяем аргументы:

   $$2x+5>0,\qquad x+5>0.$$

   После пересечения всех условий остаётся:

   $$x>-2,\qquad x\ne-1.$$

3. Применяем рационализацию:

   $$\bigl((x+2)-1\bigr) \bigl((2x+5)-(x+5)\bigr)\ge0.$$

4. Упрощаем:

   $$(x+1)x\ge0.$$

5. Произведение неотрицательно при

   $$x\le-1 \quad\text{или}\quad x\ge0.$$

6. Пересекаем с ОДЗ $x>-2$, $x\ne-1$. Ответ

$$\boxed{x\in(-2;-1)\cup[0;+\infty)}$$

Сравнение логарифма с нулём

Поскольку

$$0=\log_a1,$$

можно использовать частный случай рационализации:

$$\log_{a(x)}f(x)\ge0 \Longleftrightarrow \bigl(a(x)-1\bigr) \bigl(f(x)-1\bigr)\ge0.$$

Важно. Рационализация не заменяет ОДЗ. Полученное алгебраическое неравенство может иметь решения, при которых исходный логарифм не существует. Поэтому итог всегда пересекается с первоначальной областью допустимых значений.

Вложенные логарифмы, модуль, произведения и дроби

Вложенный логарифм

Во вложенном выражении внутренний логарифм становится аргументом внешнего. Следовательно, он должен быть не просто определён, а строго положителен.

Решить неравенство

$$\log_{\frac12}\bigl(\log_2x\bigr)\ge-1.$$

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть положительным:

   $$\log_2x>0.$$

   Поскольку $2>1$, отсюда $x>1$.

2. Представляем правую часть в виде логарифма:

   $$-1=\log_{\frac12}2.$$

3. Основание внешнего логарифма меньше единицы, поэтому:

   $$\log_2x\le2.$$

4. Вместе с ОДЗ получаем:

   $$0<\log_2x\le2.$$

5. Переходим к $x$:

   $$1<x\le4.$$

Ответ

$$\boxed{x\in(1;4]}$$

Логарифм под знаком модуля

Решить неравенство

$$\left|\log_3(x-1)\right|<1.$$

ОДЗ имеет вид $x>1$. Раскрываем модуль:

$$-1<\log_3(x-1)<1.$$

Основание $3>1$, поэтому двойное неравенство переходит в

$$3^{-1}<x-1<3.$$

$$\frac13<x-1<3.$$

$$\frac43<x<4.$$

Ответ

$$\boxed{x\in\left(\frac43;4\right)}$$

Логарифмическая дробь

Если логарифмы находятся в числителе или знаменателе, нельзя рассматривать их знаки отдельно от всей дроби. Сначала нужно:

• записать ОДЗ всех логарифмов;
• исключить нули знаменателя;
• определить знак знаменателя;
• только после этого умножать неравенство на знаменатель;
• при неизвестном знаке использовать метод интервалов.

Важно. Если знаменатель является квадратом, например $(10x-7)^2$, то на своей области определения он всегда положителен. Поэтому знак дроби определяется только числителем. Точка, в которой квадрат равен нулю, всё равно должна быть исключена.

Как выбрать метод решения

Один логарифм и число

Представьте число в виде логарифма или сравните аргумент со степенью основания.

Одинаковые основания

Используйте монотонность и перейдите к сравнению аргументов.

Сумма или разность логарифмов

После записи ОДЗ объедините логарифмы в логарифм произведения или частного.

Логарифм повторяется

Введите замену и решите квадратное либо рациональное неравенство относительно новой переменной.

Разные основания

Используйте формулу перехода к новому основанию.

Переменное основание

Разделите решение на два случая или примените рационализацию.

Произведение логарифмов

Исследуйте знак каждого множителя или используйте монотонность множителей после подходящей замены.

Логарифмическая дробь

Найдите знак знаменателя и не забудьте исключить его нули.

Универсальный алгоритм решения

1. Выпишите ОДЗ всех выражений из исходного неравенства. Проверьте аргументы, основания, знаменатели и подкоренные выражения.
2. Определите структуру неравенства. Посмотрите, одинаковы ли основания, можно ли объединить логарифмы и повторяется ли одно выражение.
3. Определите монотонность. Если основание больше единицы, знак сохраняется; если меньше единицы — разворачивается.
4. Выполните равносильное преобразование: объединение логарифмов, переход к новому основанию, замену или рационализацию.
5. Сведите задачу к обычному рациональному, квадратному, показательному неравенству или системе.
6. Решите полученное неравенство. При дробях и произведениях удобно использовать метод интервалов.
7. Выполните обратную замену, если она применялась.
8. Пересеките найденное множество с исходным ОДЗ.
9. Проверьте граничные точки: нули аргументов, нули знаменателей, основание $1$ и строгость исходного знака.

Полная логика решения

$$\text{ОДЗ} \longrightarrow \text{выбор метода} \longrightarrow \text{равносильное преобразование} \longrightarrow \text{обычное неравенство} \longrightarrow \text{пересечение с ОДЗ}.$$

Типичные ошибки и финальная проверка

Ошибка 1. Не учитывается положительность аргумента

Из

$$\log_2f(x)<3$$

получают только $f(x)<8$. Правильно записывать систему:

$$\begin{cases} f(x)>0,\\ f(x)<8. \end{cases}$$

Ошибка 2. Не разворачивается знак

При основании меньше единицы необходимо помнить:

$$\log_a u>\log_a v \Longleftrightarrow u<v, \qquad 0<a<1.$$

Ошибка 3. Логарифмы объединяются до записи ОДЗ

В результате в решение могут попасть посторонние значения, при которых исходные логарифмы не существуют.

Ошибка 4. Неравенство умножается на выражение неизвестного знака

Если знак множителя не установлен, такое действие может изменить направление неравенства.

Ошибка 5. Не исключается ноль знаменателя

Точку, в которой знаменатель равен нулю, необходимо исключать, даже если знаменатель представляет собой квадрат.

Проверка перед записью ответа

• Все аргументы исходных логарифмов положительны.
• Все переменные основания положительны и не равны единице.
• Все знаменатели отличны от нуля.
• Учтены ограничения подкоренных выражений.
• При основании меньше единицы знак развёрнут.
• После замены выполнен обратный переход.
• Результат пересечён с исходным ОДЗ.
• Правильно включены или исключены граничные точки.

Задачи в формате ЕГЭ

В следующих задачах одновременно используются несколько идей: основное логарифмическое тождество, объединение логарифмов, анализ знаменателя, переход к новому основанию и замена переменной. Каждое решение начинается с ОДЗ и завершается проверкой границ.

Задача ЕГЭ № 1

Решить неравенство

$$3^{\log_3(4+x^2)}+x^4-10\ge0.$$

Источник: задание № 15 КИМ ЕГЭ, основная волна.

Идея решения

В показателе степени находится логарифм по тому же основанию $3$. Значит, можно применить основное тождество $a^{\log_a b}=b$. После этого останется биквадратное неравенство, которое решается заменой $t=x^2$.

Подробное решение

1. Начинаем с ОДЗ. Единственное ограничение связано с аргументом логарифма:

   $$4+x^2>0.$$

   Поскольку $x^2\ge0$, имеем $4+x^2\ge4>0$. Следовательно, логарифм существует при любом действительном $x$:

   $$x\in\mathbb R.$$

2. Основание степени и основание логарифма совпадают. Применяем тождество:

   $$3^{\log_3(4+x^2)}=4+x^2.$$

   Оно применимо, поскольку аргумент $4+x^2$ положителен.

3. Подставляем упрощённое выражение в исходное неравенство:

   $$4+x^2+x^4-10\ge0.$$

   Приводим подобные слагаемые:

   $$x^4+x^2-6\ge0.$$

4. Выражение содержит $x^4$ и $x^2$, поэтому вводим замену:

   $$t=x^2.$$

   Поскольку квадрат действительного числа неотрицателен, обязательно фиксируем:

   $$t\ge0.$$

   Кроме того,

   $$x^4=(x^2)^2=t^2.$$

5. После замены получаем:

   $$t^2+t-6\ge0.$$

   Раскладываем квадратный трёхчлен:

   $$(t+3)(t-2)\ge0.$$

6. Корни полученного трёхчлена равны $-3$ и $2$. Парабола направлена вверх, поэтому выражение неотрицательно вне промежутка между корнями:

   $$t\le-3 \quad\text{или}\quad t\ge2.$$

7. Учитываем дополнительное условие $t\ge0$. Ветвь $t\le-3$ ему противоречит, поэтому остаётся: $$t\ge2.$$

8. Выполняем обратную замену:

   $$x^2\ge2.$$

   Это означает, что

   $$|x|\ge\sqrt2.$$

   Следовательно,

   $$x\le-\sqrt2 \quad\text{или}\quad x\ge\sqrt2.$$

9. Граничные точки включаются, потому что исходное неравенство нестрогое. При $x=\pm\sqrt2$ левая часть равна нулю.

Ответ

$$\boxed{ x\in (-\infty;-\sqrt2] \cup [\sqrt2;+\infty) }$$

В этой задаче важны две последовательные идеи: сначала применяется основное логарифмическое тождество, затем выполняется замена $t=x^2$ с обязательным условием $t\ge0$.

Задача ЕГЭ № 2

Решить неравенство

$$\frac{ \log_8(4^x-2)-\log_8(2^x) }{ 100x^2-140x+49 } \le0.$$

Источник: задание № 15 КИМ ЕГЭ, пересдача.

Идея решения

Знаменатель является полным квадратом. На ОДЗ он положителен, поэтому знак всей дроби определяется числителем. Разность логарифмов объединяется в один логарифм, а степени $4^x$ и $2^x$ связываются заменой $t=2^x$.

Подробное решение

1. Начинаем с первого логарифма. Его аргумент должен быть положительным:

   $$4^x-2>0.$$

   Представляем $4^x$ через основание $2$:

   $$4^x=(2^2)^x=2^{2x}.$$

   Тогда

   $$2^{2x}>2^1.$$

   Поскольку основание $2>1$, сравниваем показатели:

   $$2x>1,\qquad x>\frac12.$$

2. Аргумент второго логарифма равен $2^x$. Показательная функция всегда положительна:

   $$2^x>0$$

   при любом действительном $x$. Поэтому этот логарифм дополнительных ограничений не создаёт.

3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

   $$100x^2-140x+49\ne0.$$

   Замечаем полный квадрат:

   $$100x^2-140x+49=(10x-7)^2.$$

   Следовательно,

   $$10x-7\ne0,\qquad x\ne\frac7{10}.$$

4. Полное ОДЗ:

   $$x>\frac12,\qquad x\ne\frac7{10}.$$

   В интервальной форме:

   $$x\in \left(\frac12;\frac7{10}\right) \cup \left(\frac7{10};+\infty\right).$$

5. На ОДЗ знаменатель $(10x-7)^2$ строго положителен. Квадрат не может быть отрицательным, а нулевое значение уже исключено. Поэтому деление на знаменатель не меняет знак числителя.

6. Исходная дробь неположительна тогда и только тогда, когда её числитель неположителен:

   $$\log_8(4^x-2)-\log_8(2^x)\le0.$$

7. Объединяем разность логарифмов:

   $$\log_8 \left( \frac{4^x-2}{2^x} \right) \le0.$$

   Такое объединение допустимо, потому что на ОДЗ оба исходных аргумента положительны.

8. Представляем ноль как логарифм единицы:

   $$0=\log_8 1.$$

   Получаем:

   $$\log_8 \left( \frac{4^x-2}{2^x} \right) \le \log_8 1.$$

9. Основание $8>1$, поэтому логарифмическая функция возрастает и знак сохраняется:

   $$\frac{4^x-2}{2^x}\le1.$$

10. Знаменатель $2^x$ всегда положителен, поэтому можно умножить на него без изменения знака:

    $$4^x-2\le2^x.$$

11. Вводим замену:

    $$t=2^x.$$

    Показательная функция положительна, поэтому

    $$t>0.$$

    При этом

    $$4^x=(2^x)^2=t^2.$$

12. Получаем квадратное неравенство:

    $$t^2-2\le t.$$

    Переносим всё влево:

    $$t^2-t-2\le0.$$

    Раскладываем:

    $$(t-2)(t+1)\le0.$$

13. Произведение неположительно между корнями:

    $$-1\le t\le2.$$

    Учитываем условие $t>0$:

    $$0<t\le2.$$

14. Возвращаемся к $x$:

    $$0<2^x\le2.$$

    Левая часть выполняется всегда. Из

    $$2^x\le2^1$$

    получаем

    $$x\le1.$$

15. Пересекаем $x\le1$ с исходным ОДЗ:

    $$x>\frac12,\qquad x\ne\frac7{10}.$$

    Точка $x=1$ включается, потому что исходное неравенство нестрогое и знаменатель при $x=1$ не равен нулю.

Ответ

$$\boxed{ x\in \left(\frac12;\frac7{10}\right) \cup \left(\frac7{10};1\right] }$$

Ключевой момент задачи — знаменатель $(10x-7)^2$. Он положителен на ОДЗ, но точку $x=\frac7{10}$ всё равно необходимо исключить: в ней исходная дробь не определена.