Дробно-рациональные уравнения

Последовательно получаем:

$$\frac{9}{x^2-16}=1 \Leftrightarrow x^2-16=9 \Leftrightarrow x^2=25 \Leftrightarrow \begin{cases} x=5;\\ x=-5. \end{cases}$$

Больший корень равен $5$.

Если две дроби с равными числителями равны, то равны их знаменатели. Имеем:

$$\frac{1}{3x-4}=\frac{1}{4x-11}\Leftrightarrow \begin{cases} 3x-4=4x-11,\\ 4x-11\ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=7,\\ x\ne \dfrac{11}{4} \end{cases} \Leftrightarrow x=7.$$

Используем свойство пропорции, раскроем скобки, получим квадратное уравнение:

$$\frac{x-6}{7x+3}=\frac{x-6}{5x-1}\Leftrightarrow \begin{cases} 7x+3\ne 0,\ 5x-1\ne 0,\\ (x-6)(5x-1)=(x-6)(7x+3) \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} 7x+3\ne 0,\ 5x-1\ne 0,\\ 5x^2-31x+6=7x^2-39x-18 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ne -\dfrac{3}{7},\ x\ne \dfrac{1}{5},\\ x^2-4x-12=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=6,\\ x=-2. \end{cases}$$

Искомый больший корень равен $6$.

Если две дроби с равным знаменателем равны, то равны их числители. Имеем:

$$\frac{x+89}{x-7}=\frac{-5}{x-7}\Leftrightarrow \begin{cases} x+89=-5,\\ x-7\ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-94,\\ x\ne 7 \end{cases} \Leftrightarrow x=-94.$$