Задачи с прикладным содержанием

По условию задачи: $$I \leq 0.2 I_{\text{кз}}.$$

Подставляем выражения для токов: $$\frac{\varepsilon}{R + 1} \leq 0.2 \cdot \frac{\varepsilon}{1}.$$

Упрощаем (сокращаем $\varepsilon \neq 0$): $$\frac{1}{R + 1} \leq 0.2.$$

Решаем неравенство: $$R + 1 \geq \frac{1}{0.2} = 5.$$

Находим минимальное $R$: $$R \geq 5 - 1 = 4\ \text{Ом}.$$

Ответ: 4

Решение.

• ЭДС источника: $\varepsilon = 180 \, \text{В}$
• Внутреннее сопротивление: $r = 1 \, \text{Ом}$
• Напряжение на нагрузке: $U = 170 \, \text{В}$

Формула для напряжения на нагрузке: $$U = \frac{\varepsilon R}{R + r}$$

Подставляем известные значения: $$170 = \frac{180 \cdot R}{R + 1}$$

Умножаем обе части уравнения на $(R + 1)$, чтобы избавиться от знаменателя: $$170(R + 1) = 180R$$

Раскрываем скобки: $$170R + 170 = 180R$$

Переносим все члены с $R$ в одну сторону, а свободные члены — в другую: $$180R - 170R = 170$$

Упрощаем: $$10R = 170$$

Находим $R$: $$R = \frac{170}{10} = 17 \, \text{Ом}$$

Ответ. 17

Решение.

Записываем неравенство для напряжения: $$\frac{65R}{R + 0.5} \geq 60.$$

Переносим все члены в одну сторону: $$\frac{65R - 60(R + 0.5)}{R + 0.5} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{5R - 30}{R + 0.5} \geq 0.$$

Анализируем неравенство:

• Знаменатель $R + 0.5 > 0$ (так как $R \geq 0$).
• Числитель: $5R - 30 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad R \geq 6$.

Наименьшее подходящее $R$: $$R = 6\ \text{Ом}.$$

Ответ. 6

Решение

• Фокусное расстояние линзы $f = 20 \, \text{см}$
• Диапазон расстояний до предмета: $15 \leq d_1 \leq 40 \, \text{см}$
• Диапазон расстояний до экрана: $100 \leq d_2 \leq 120 \, \text{см}$

Запишем формулу тонкой линзы: $$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$$

Чтобы найти минимальное $d_1$, нужно максимизировать $\frac{1}{d_1}$. Для этого минимизируем $\frac{1}{d_2}$, что соответствует максимальному $d_2$.

Подставляем максимальное значение $d_2 = 120 \, \text{см}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{20} - \frac{1}{120}$$

Вычисляем правую часть: $$\frac{1}{20} - \frac{1}{120} = \frac{6}{120} - \frac{1}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$$

Получаем: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{24}$$ $$d_1 = 24 \, \text{см}$$

Проверим, что полученное значение находится в допустимом диапазоне: $$15 \leq 24 \leq 40 \, \text{см}$$

Ответ 24

Решение.

Выражаем $\frac{1}{d_1}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{d_2}.$$

Для минимального $d_1$ правая часть должна быть максимальной. Это достигается при максимальном $d_2 = 180\ \text{см}$: $$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{30} - \frac{1}{180} = \frac{6 - 1}{180} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}.$$

Находим $d_1$: $$d_1 = 36\ \text{см}.$$

Проверяем ограничение: $36 \in [20, 40]$.

Ответ. 36