Движение по прямой

Пусть $x$ — скорость первого велосипедиста, тогда скорость второго равна $x - 1$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $1$ час: $$\frac{240}{x - 1} - \frac{240}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{240x - 240(x - 1)}{x(x - 1)} = 1 \Leftrightarrow \frac{240}{x^2 - x} = 1$$ $$x^2 - x - 240 = 0$$ $$D = 1 + 960 = 961 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 31}{2}$$ $$x = 16, \quad x = -15$$

Скорость положительна: $x = 16$.

Пусть $x$ — скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого равна $x + 3$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $3$ часа: $$\frac{88}{x} - \frac{88}{x + 3} = 3 \Leftrightarrow \frac{88(x + 3) - 88x}{x(x + 3)} = 3 \Leftrightarrow \frac{264}{x^2 + 3x} = 3$$ $$x^2 + 3x - 88 = 0$$ $$D = 9 + 352 = 361 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 19}{2}$$ $$x = 8, \quad x = -11$$

Скорость положительна: $x = 8$.

Пусть в первый день турист прошел $a_1 = 10$ км, а ежедневное увеличение расстояния равно $d$ км. Тогда расстояние за третий день: $$a_3 = a_1 + 2d$$ Общий путь за $6$ дней равен сумме арифметической прогрессии: $$S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6 = 120 \Leftrightarrow a_1 + a_6 = 40$$ Так как $a_6 = a_1 + 5d$, то: $$10 + 10 + 5d = 40 \Leftrightarrow 5d = 20 \Leftrightarrow d = 4$$ Теперь найдём расстояние за третий день: $$a_3 = 10 + 2 \cdot 4 = 18$$

Пусть улитка ползла $n$ дней, в первый день проползла $a_1$ метров, а в последний день — $a_n$ метров. По условию:

$$a_1 + a_n = 10$$

Общий путь равен сумме арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = 150 \Leftrightarrow 5n = 150 \Leftrightarrow n = 30$$

Так как автомобили ехали навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$$65 + 75 = 140 \text{ км/ч}$$

Время до встречи:

$$t = \frac{s}{v} = \frac{560}{140} = 4 \text{ часа}$$