Движение по прямой

Пусть $x$ — скорость первого автомобиля. Примем расстояние между пунктами $A$ и $B$ за $1$. Составим таблицу согласно условию задачи:

Так как автомобили прибыли в пункт $B$ одновременно, время, которое они затратили на путь будет равным:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{48} + \frac{1}{2(x + 16)}$$ $$\frac{1}{x} = \frac{x + 16 + 24}{48(x + 16)} = \frac{x + 40}{48(x + 16)}$$ $$48(x + 16) = x^2 + 40x$$ $$x^2 - 8x - 768 = 0$$ $$D = 64 + 4\cdot 768 = 3136$$

$$x = \frac{8 + \sqrt{3136}}{2} = \frac{8 + 56}{2} = 32$$ $$x = \frac{8 - \sqrt{3136}}{2} = \frac{8 - 56}{2} = -24$$

Так как скорость не может быть отрицательной: $x = 32$

Пусть $x$ — скорость первого автомобиля. Примем расстояние между пунктами $A$ и $B$ за $1$. Составим таблицу:

Уравнение времени: $$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 13)} + \frac{1}{156} \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{x + 65}{156(x - 13)}$$ $$156(x - 13) = x^2 + 65x \Leftrightarrow x^2 - 91x + 2028 = 0$$ $$D = 8281 - 8112 = 169 \Rightarrow x = \frac{91 \pm 13}{2}$$ x_1 = 52,\ x_2 = 39\

По условию скорость должна быть больше $48$км/ч, поэтому $x = 52$.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$, тогда скорость автомобилиста равна $x + 40$. Составим уравнение согласно условию задачи:

Составим уравнение относительно времени. Так как велосепидист затратил на путь на $6$ часов больше, чем автомобилист, разность между их временем в пути равна $6$:

$$\frac{75}{x} - \frac{75}{x + 40} = 6 \Leftrightarrow \frac{75x + 74\cdot40 - 75x}{x(x + 40)} = 6\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 6x^2 + 240x - 75\cdot40 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 40x - 500 = 0$$ $$D = 1600 + 2000 = 3600$$ $$x = \frac{-40 \pm 60}{2} \Leftrightarrow x= 10, \quad x = -50$$

Так как скорость не может быть отрицательной, скорость велосипидиста равна: $10$

Пусть скорость велосипидиста на пути из $A$ в $B$ равна $x$. Тогда скорость на пути обратно равна $x + 3$. Составим таблицу согласно условию задачи:

Составим уравнение относительно времени. Из условия задачи известно, что время, потраченное на путь из пункта $A$ в пункт $B$ равно времени, потраченному на путь из пункта $B$ в пункт $A$ с учётом остановки на 3 часа:

$$\frac{70}{x + 3} + 3 = \frac{70}{x} \Leftrightarrow \frac{3x + 79}{x + 3} = \frac{70}{x} \Leftrightarrow 3x^2 + 79x = 70x + 210 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^2 + 3x - 70 = 0$$ $$D = 9 +4\cdot70 = 289$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 \pm 17}{2}$$ $$x = 7, \quad x = -10$$

Так как скорость положительна: $x = 7$. Тогда скорость на пути из $B$ в $A$ равна: $7 + 3 = 10$

Пусть скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $x$, тогда скорость на обратном пути равна $x + 7$. Составим таблицу согласно условию задачи:

Составим уравнение относительно времени. По условию задачи время, которое потратил велосипедист на пусть из $A$ в $B$ равно времени, которое он потратил на пусть из $B$ в $A$ с учётом остановки в 7 часов:

$$\frac{98}{x + 7} + 7 = \frac{98}{x} \Leftrightarrow \frac{7x + 49 + 98}{x + 7} = \frac{98}{x} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 7x^2 + 147x = 98x + 686 \Leftrightarrow 7x^2 + 49x - 686 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^2 + 7x - 98 = 0$$ $$D = 49 + 392 = 441$$ $$x = \frac{-7 \pm21}{2} \Rightarrow x = -14, \quad x = 7$$

Так как скорость положительна: $x = 7$