Гиперболы

1. Определим параметры функции:

Из условия задачи известно:

• Вертикальная асимптота графика: $x = -1$ $\Rightarrow$ $a = 1$
• График проходит через точку $(2, 1)$

Подставим известные значения в уравнение функции: $$\frac{k}{2 + 1} = 1$$

Решим уравнение относительно $k$: $$\frac{k}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 3$$

Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = \frac{3}{x + 1}$$

1. Найдём значение $x$, при котором $f(x) = 0{,}2$:

Решим уравнение: $$\frac{3}{x + 1} = 0{,}2$$

Умножим обе части на $x + 1$: $$3 = 0{,}2(x + 1)$$

Раскроем скобки: $$3 = 0{,}2x + 0{,}2$$

Перенесём слагаемые: $$0{,}2x = 3 - 0{,}2$$ $$0{,}2x = 2{,}8$$

Найдём $x$: $$x = \frac{2{,}8}{0{,}2} = 14$$

Ответ 14

1. Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{tx + a}{x + b} = \frac{tx + tb + a - tb}{x + b} = \frac{t(x + b)}{x + b} + \frac{a - tb}{x + b} = t + \frac{a - tb}{x + b}$$

2. Анализ асимптот:

• Горизонтальная асимптота: $y = t$
• По условию горизонтальная асимптота $y = 1$, следовательно: $$t = 1$$

Ответ 1

1. Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{kx + a}{x + b} = \frac{kx + kb + a - kb}{x + b} = \frac{k(x + b)}{x + b} + \frac{a - kb}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

2. Определим коэффициенты:

• Горизонтальная асимптота $y = 1$ $\Rightarrow$ $k = 1$
• Вертикальная асимптота $x = -4$ $\Rightarrow$ $b = 4$
• Точка $(1, 2)$ принадлежит графику: $$f(1) = 1 + \frac{a - 1 \cdot 4}{1 + 4} = 2$$

1. Решим уравнение для $a$: $$1 + \frac{a - 4}{5} = 2$$ $$\frac{a - 4}{5} = 1$$ $$a - 4 = 5$$ $$a = 9$$

2. Проверка: Подставим найденные значения в исходную функцию: $$f(x) = \frac{x + 9}{x + 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$$

• При $x = 1$: $f(1) = 1 + \frac{5}{5} = 2$ - соответствует условию
• Горизонтальная асимптота $y = 1$ - соответствует
• Вертикальная асимптота $x = -4$ - соответствует

Ответ 9