Гиперболы

Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{tx + a}{x + b} = \frac{tx + tb + a - tb}{x + b} = \frac{t(x + b)}{x + b} + \frac{a - tb}{x + b} = t + \frac{a - tb}{x + b}$$

Анализ асимптот:

• Горизонтальная асимптота: $y = t$
• По условию горизонтальная асимптота $y = 1$, следовательно: $$t = 1$$

Ответ 1

Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{kx + a}{x + b} = \frac{kx + kb + a - kb}{x + b} = \frac{k(x + b)}{x + b} + \frac{a - kb}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

Определим коэффициенты:

• Горизонтальная асимптота $y = 1$ $\Rightarrow$ $k = 1$
• Вертикальная асимптота $x = -4$ $\Rightarrow$ $b = 4$
• Точка $(1, 2)$ принадлежит графику: $$f(1) = 1 + \frac{a - 1 \cdot 4}{1 + 4} = 2$$

Решим уравнение для $a$: $$1 + \frac{a - 4}{5} = 2$$ $$\frac{a - 4}{5} = 1$$ $$a - 4 = 5$$ $$a = 9$$

Проверка: Подставим найденные значения в исходную функцию: $$f(x) = \frac{x + 9}{x + 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$$

• При $x = 1$: $f(1) = 1 + \frac{5}{5} = 2$ - соответствует условию
• Горизонтальная асимптота $y = 1$ - соответствует
• Вертикальная асимптота $x = -4$ - соответствует

Ответ 9

1. Определим параметры функции:

• Горизонтальная асимптота: $y=1 \Rightarrow a=1$
• Точка $(3,2)$ принадлежит графику. Подставим соответствующие значения и найдём $k$: $$\frac{k}{3} + 1 = 2 \Rightarrow k = 3$$

Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = \frac{3}{x} + 1$$

1. Вычислим $f(-12)$: $$f(-12) = \frac{3}{-12} + 1 = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} = 0,\!75$$

Ответ 0,75

1. Определим параметры функции:

Из условия задачи известно:

• Горизонтальная асимптота графика: $y = 1$ $\Rightarrow$ $a = 1$
• График проходит через точку $(3, 2)$

Подставим известные значения в функцию: $$\frac{k}{3} + 1 = 2$$

Решим уравнение относительно $k$: $$\frac{k}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 3$$

Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = \frac{3}{x} + 1$$

1. Найдём значение $x$, при котором $f(x) = 0{,}8$:

Решим уравнение: $$\frac{3}{x} + 1 = 0{,}8$$

Вычтем 1 из обеих частей: $$\frac{3}{x} = -0{,}2$$

Умножим обе части на $x$: $$3 = -0{,}2x$$

Найдём $x$: $$x = \frac{3}{-0{,}2} = -15$$

Ответ -15

Нам известна точка $(3, 1)$. Подставим соответствующие значения и найдём $k$: $$f(3) = \frac{k}{3} = 1 \Rightarrow k = 3$$

Найдём значение $f(\tfrac{1}{3})$: $$f(\tfrac{1}{3}) = \frac{3}{\tfrac{1}{3}} = 9$$