Логарифмические функции

1. Определим параметры функции: Из условия известны две точки: $$\begin{align*} f(2) &= -2 \\ f(4) &= -1 \end{align*}$$

2. Составим систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \\ b + \log_a 4 = -1 \end{cases}$$

3. Решим систему: Вычтем первое уравнение из второго: $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1 \Rightarrow \log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

1. Запишем уравнение функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

2. Найдём $x$ при $f(x) = 1$: $$1 = -3 + \log_2 x \Rightarrow \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$$

Ответ 16

1. Составляем систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \quad \text{(1)} \\ b + \log_a 4 = -1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

2. Вычитаем уравнение (1) из (2): $$(b + \log_a 4) - (b + \log_a 2) = -1 - (-2)$$ $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1$$

3. Упрощаем логарифмическое выражение: $$\log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1$$

4. Находим основание $a$: $$a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$

5. Определяем параметр $b$ (подставляем $a = 2$ в уравнение (1)): $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

6. Записываем явный вид функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

7. Вычисляем $f(32)$: $$\log_2 32 = 5 \quad (\text{так как } 2^5 = 32)$$ $$f(32) = -3 + 5 = 2$$

Из графика находим известную точку: $f(2) = 1$. Подставляем в уравнение функции: $$\log_a 2 = 1$$ По определению логарифма это означает: $$a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \log_2 x$. Находим $f(16)$: $$f(16) = \log_2 16$$ Представляем 16 как степень двойки: $$16 = 2^4$$ Следовательно: $$\log_2 16 = 4$$

1. Определим параметр $b$ из области определения функции. Область определения $f(x) = \log_a (x + b)$ - это интервал $(-b; +\infty)$.

Из графика видно, что функция определена при $x > -5$, следовательно: $$-b = -5 \Rightarrow b = 5$$

1. Найдём основание логарифма $a$, используя точку $(-1, 2)$, принадлежащую графику: $$2 = \log_a (-1 + 5) \Rightarrow 2 = \log_a 4$$ По определению логарифма: $$a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (a > 0, a \neq 1)$$

2. Теперь функция имеет вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

3. Вычислим $f(11)$: $$f(11) = \log_2 (11 + 5) = \log_2 16 = 4$$

1. Используем две точки графика для составления системы уравнений: $$\begin{cases} f(-3) = 1 \\ f(-1) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_a (-3 + b) = 1 \\ \log_a (-1 + b) = 2 \end{cases}$$

2. Преобразуем уравнения, используя определение логарифма: $$\begin{cases} -3 + b = a \\ -1 + b = a^2 \end{cases}$$

3. Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе: $$b = a + 3 \\ -1 + (a + 3) = a^2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Учитывая условия $a > 0$ и $a \neq 1$, выбираем $a = 2$.

5. Находим $b$: $$b = 2 + 3 = 5$$

6. Функция принимает вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

7. Решаем уравнение $f(x) = 4$: $$\log_2 (x + 5) = 4 \Rightarrow x + 5 = 2^4 \Rightarrow x = 16 - 5 = 11$$