Логарифмические функции

1. Составляем систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \quad \text{(1)} \\ b + \log_a 4 = -1 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

2. Вычитаем уравнение (1) из (2): $$(b + \log_a 4) - (b + \log_a 2) = -1 - (-2)$$ $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1$$

3. Упрощаем логарифмическое выражение: $$\log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1$$

4. Находим основание $a$: $$a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$

5. Определяем параметр $b$ (подставляем $a = 2$ в уравнение (1)): $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

6. Записываем явный вид функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

7. Вычисляем $f(32)$: $$\log_2 32 = 5 \quad (\text{так как } 2^5 = 32)$$ $$f(32) = -3 + 5 = 2$$

Ответ 2

Подставим известную точку $(2, 1)$ в функцию и найдём $a$: $$f(2) = \log_a2 = 1 \Leftrightarrow a^1 = 2 \Rightarrow a = 2$$ Найдём значение $x$, при котором $f(x) = -4$: $$\log_2x = -4 \Leftrightarrow 2^{-4} = x \Rightarrow x = \frac{1}{16} = 0,0625$$

Подставим известную точку $(3, 1)$ в функцию и найдём $a$: $$f(3) = \log_a3 = 1 \Leftrightarrow a^1 = 3 \Rightarrow a = 3$$ Найдём значение $f(81)$: $$f(81) = \log_381 = 4$$

Подставим известную точку $(3, -1)$ в функцию и найдём $a$: $$f(3) = \log_a3 = -1 \Leftrightarrow a^{-1} = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$ Найдём значение $f(27)$: $$f(27) = \log_{\tfrac{1}{3}}27 =-3$$

1. Определим параметры функции: Из условия известны две точки: $$\begin{align*} f(2) &= -2 \\ f(4) &= -1 \end{align*}$$

2. Составим систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \\ b + \log_a 4 = -1 \end{cases}$$

3. Решим систему: Вычтем первое уравнение из второго: $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1 \Rightarrow \log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

1. Запишем уравнение функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

2. Найдём $x$ при $f(x) = 1$: $$1 = -3 + \log_2 x \Rightarrow \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$$