Логарифмические функции

По рисунку определяем, что $f(-1)=-1$, $f(5)=-2$. Тогда

$$\begin{cases} -1=\log_a(-1+b),\\ -2=\log_a(5+b), \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} a^{-1}=-1+b,\\ a^{-2}=5+b, \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac1a=-1+b,\\ \frac{1}{a^2}=5+b, \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} b=\frac1a+1,\\ \frac{1}{a^2}=5+\frac1a+1, \end{cases}$$

$$\begin{cases} b=4,\\ a=\dfrac{1}{3}. \end{cases}$$ ] Значит,

$$f(x)=\log_{1/3}(x+4).$$

Найдём значение $f(77)$:

$$f(77)=\log_{1/3}(77+4)=\log_{1/3}81=-4.$$

По рисунку определяем, что $f(-1)=2$, $f(5)=6$. Тогда

$$\begin{cases} 2=\log_a(-1+b),\\ 6=\log_a(5+b) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=-1+b,\\ a^6=5+b \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2=-1+b,\\ (-1+b)^3=5+b \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} a^2=-1+b,\\ (b-3)(b^2+2)=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} b=3,\\ a=\sqrt2 \end{cases}.$$ Значит, $f(x)=\log_{\sqrt2}(x+3)$. Найдём значение $f(29)$:

$$f(29)=\log_{\sqrt2}(29+3)=\log_{\sqrt2}32=10.$$

По рисунку определяем, что $f(2)=1$, $f(4)=3$. Тогда $$\begin{cases} 1=b+\log_a 2,\\ 3=b+\log_a 4, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2=2b+2\log_a 2,\\ 3=b+2\log_a 2, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=-1,\\ a=\sqrt{2}. \end{cases}$$

Значит, $f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}}x$. Решим уравнение $f(x)=-5$: $$-5=-1+\log_{\sqrt{2}}x \Leftrightarrow -4=\log_{\sqrt{2}}x \Leftrightarrow x=0{,}25.$$

По рисунку определяем, что $f(2)=1$, $f(4)=3$. Тогда

$$\begin{cases} 1=b+\log_a 2,\\ 3=b+\log_a 4, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2=2b+2\log_a 2,\\ 3=b+2\log_a 2, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=-1,\\ a=\sqrt{2}. \end{cases}$$

Значит, $f(x)=-1+\log_{\sqrt{2}}x$. Решим уравнение $f(x)=9$:

$$9=-1+\log_{\sqrt{2}}x \Leftrightarrow 10=\log_{\sqrt{2}}x \Leftrightarrow x=32.$$