Логарифмические неравенства сложные свойства

$$(*) 6 - x > 0 \Leftrightarrow x < 6$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{5^4}(6 - x) \leq \log_5(x - 6)^2$$ $$\frac{x^2}{4}\log_{5}(6 - x) \leq 2\log_5|x - 6|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $6 - x$: $$\frac{x^2}{8}\log_{5}(6 - x) \leq \log_5(6 - x) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{8} - 1\right)\log_{5}(6 - x) \leq 0$$ $$(x^2 - 8)\log_{5}(6 - x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\log_{5}(6 - x) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm2\sqrt{2}; \log_5(6-x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$$

Решение неравенства: $x \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [5; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [5; 6)$

Ответ: $x \in [-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}] \cup [5; 6)$

$$(*) 4 - x > 0 \Leftrightarrow x < 4$$ Преобразуем исходное неравенство: $$x^2\log_{3^5}(4 - x) \leq \log_3(x - 4)^2$$ $$\frac{x^2}{5}\log_{3}(4 - x) \leq 2\log_3|x - 4|$$ Учитывая $(*)$, модуль раскроется как $4 - x$: $$\frac{x^2}{10}\log_{3}(4 - x) \leq \log_3(4 - x) \Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{10} - 1\right)\log_{3}(4 - x) \leq 0$$ $$(x^2 - 10)\log_{3}(4 - x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10})\log_{3}(4 - x) \leq 0$$ Найдём нули выражения: $$x = \pm\sqrt{10}; \log_34-x = 0 \Leftrightarrow x = 3$$

Решение неравенства: $x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; +\infty)$

С учётом $(*)$, получаем окончательный ответ: $x \in[-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)$

Ответ: $x \in [-\sqrt{10}; 3] \cup [\sqrt{10}; 4)$