Площади сечения

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ на $A_1A$: $A_1E : EA = 3 : 2$.

$T$ — середина $B_1C_1$.

Длины: $AD = 6$, $AA_1 = 10$, $AB = 2\sqrt{10}$.

1. []a) Доказательство, что сечение $ETD_1$ — равнобедренная трапеция:

2. Построение: Продлим $D_1T$ до $K$ на $A_1B_1$. Проведём $EK \to$ точка $F$ на $BB_1$. Сечение — $EFTD_1$.

3. Параллельность: $FT \parallel ED_1$ (через параллельные плоскости). Значит, $EFTD_1$ — трапеция.

4. Равные стороны: $\triangle D_1C_1T = \triangle KB_1T \to KB_1 = 2\sqrt{10}$. $B_1F = 3$ (средняя линия). Из равенства треугольников: $$EF = TD_1 = 7.$$

5. []б) Площадь сечения:

6. Длины: $$EF = TD_1 = 7,$$ $$ED_1 = 6\sqrt{2},$$ $$FT = 3\sqrt{2}.$$

7. Высота: $$h = \sqrt{7^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{89}{2}}.$$

8. Площадь: $$S = \frac{6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{89}{2}} = \frac{9\sqrt{89}}{2}.$$

Ответ:

а) Сечение $EFTD_1$ — равнобедренная трапеция.

б) Площадь сечения: $$\frac{9\sqrt{89}}{2}.$$

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с рёбрами: $$AB = 12,\qquad AA_1 = 16,\qquad AD = 15.$$

1. [] a) Доказательство отношения объёмов $1:3$.

2. Объём параллелепипеда: $$V_{\text{пар}} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 12 \cdot 15 \cdot 16 = 2880.$$

3. Объём пирамиды $A_1BDC_1$ найдём через объёмы «отрезаемых» пирамид: $$V_{A_1ADB} = \frac{1}{6}V_{\text{пар}} = \frac{1}{6}\cdot 2880 = 480,$$ $$V_{C_1CBD} = V_{BA_1B_1C_1} = V_{DA_1D_1C_1} = 480,$$ $$V_{A_1BDC_1} = V_{\text{пар}} - 4\cdot 480 = 2880 - 1920 = 960 = \frac{1}{3}V_{\text{пар}}.$$

4. Таким образом: $$\frac{V_{A_1BDC_1}}{V_{\text{пар}}} = \frac{1}{3}.$$

5. []б) Нахождение расстояния от $A_1$ до $BD_1$.

6. Находим необходимые длины: $$A_1B = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{256 + 144} = 20,$$ $$A_1D_1 = AD = 15,$$ $$BD_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{144 + 225 + 256} = 25.$$

7. Рассматриваем прямоугольный треугольник $A_1BD_1$: - катеты: $A_1B = 20$, $A_1D_1 = 15$; - гипотенуза: $BD_1 = 25$.

8. Искомое расстояние $A_1E$ — высота к гипотенузе: $$A_1E = \frac{A_1B \cdot A_1D_1}{BD_1} = \frac{20 \cdot 15}{25} = 12.$$

Ответ:

а) Объём пирамиды $A_1BDC_1$ составляет $\dfrac{1}{3}$ объёма параллелепипеда.

б) Расстояние от $A_1$ до $BD_1$ равно $12$.

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параметрами:

рёбра: $AB = 8$, $AD = 7$, $AA_1 = 5$.

Точка $W \in DD_1$: $DW : WD_1 = 1 : 4$.

1. []a) Доказательство, что сечение — параллелограмм.

2. Построим сечение плоскостью $(CA_1W)$: Проведём $CT \parallel A_1W \; (T \in BB_1)$. Соединим точки $A_1$ и $T$.

3. Свойства сечения: $CT \parallel A_1W$ (по построению). $A_1T \parallel CW$ (как линии пересечения параллельных плоскостей). Следовательно, $CTA_1W$ — параллелограмм.

4. []б) Нахождение площади сечения.

5. Вычислим длины отрезков: $$D_1W=\frac{4}{5}DD_1=4,$$ $$DW=1,$$ $$BT=D_1W=4 \quad \text{(из равенства треугольников).}$$

6. Найдём стороны параллелограмма: $$CT=\sqrt{BC^2+BT^2}=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65},$$ $$CW=\sqrt{CD^2+DW^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}.$$

7. Вычислим диагонали: $$CA_1=\sqrt{7^2+8^2+5^2}=\sqrt{138},$$ $$WT=2\sqrt{CT^2-\left(\frac{CA_1}{2}\right)^2} =2\sqrt{65-34.5} =\sqrt{122}.$$

8. Площадь сечения: $$S=\frac{CA_1\cdot WT}{2} =\frac{\sqrt{138}\cdot\sqrt{122}}{2} =\frac{\sqrt{16836}}{2} =\sqrt{4209}.$$

Ответ:

а) Доказано, что сечение $CTA_1W$ — параллелограмм.

б) Площадь сечения равна

$$\sqrt{4209}.$$

Построим сечение. Для этого проведем луч $MR$ и луч $CA$ и найдем точку их пересечения — $S$.

Через данную точку и точку $Q$ проведем луч $SQ$ — он принадлежит плоскости $ADC$. Этот луч пересечет отрезок $DC$ — назовем эту точку $T$.

Образовался четырехугольник сечения — $MQTR$.

Определим отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $SC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая: $$\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

Откуда $$\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}$$

То есть $A$ — середина $SC$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $T$ делит отрезок $DC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости $ADC$:

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1$$

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$

$$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}.$$