Прочее

Рассмотрим два случая раскрытия модуля: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3 - 5x > 0\\ 25x^2 - 9 + 15x -30x + 9 < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 3 - 5x \leq 0\\ 25x^2 - 15x + 9 - 30x + 9 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ 25x^2 -15x < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ 25x^2 - 45x + 18 < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ x(5x - 3) < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ (5x - 3)(5x - 6) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x < \tfrac{3}{5}\\ x \in (0; \tfrac{3}{5}) \end{cases}\\ &\begin{cases} x \geq \tfrac{3}{5}\\ x \in (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5}) \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \in (0; \tfrac{3}{5})\\ &x \in (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5}) \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(0; \tfrac{3}{5}) \cup (\tfrac{3}{5}; \tfrac{6}{5})$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{x^3}{3} - 9x - 7\right)' = x^2 - 9$$

2. Найдём нули производной: $$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция убывает на всём заданном отрезке, значит её максимальное значение будет в его начале: $$y(-3) = \dfrac{(-3)^3}{3} - 9(-3) - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{x^3}{3} - 9x - 7\right)' = x^2 - 9$$

2. Найдём нули производной: $$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция убывает на всём заданном отрезке, значит её максимальное значение будет в его начале: $$y(-3) = \dfrac{(-3)^3}{3} - 9(-3) - 7 = -9 + 27 - 7 = 11$$

Из графика видно, что коэффициент $a = -1$.

Вершина параболы смещена от начала координат на пять единиц вправо и на три единицы вверх. Так как ветви параболы направлены вниз, то мы можем представить функцию в виде: $$f(x) = -(x - 5)^2 + 3$$ Найдём значение $f(-1) = -(-1 - 5)^2 + 3 = -36 + 3 = -33$

1. Ограничения: $x+7>0 \Rightarrow x>-7$

2. Найдём производную: $$y' = \frac{8}{x+7} - 8 = \frac{8-8(x+7)}{x+7} = \frac{-8x-48}{x+7}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{-8x-48}{x+7} = 0 \Rightarrow x = -6$$

4. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $(-7,-6)$, убывает на $(-6,+\infty)$, следовательно точка максимума $x=-6$.