Прочее

Введём функцию $f(x) = x^2 - (2a - 1)x + 4 - a$. Графиком функции $y = f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола должна пересекать ось $Ox$ в двух точках (то есть исходное уравнение должно иметь два различных корня).

Выполнения этих условий можно добиться следующей конфигурацией:

$$f(3) < 0 \Leftrightarrow3^2 - (2a - 1)\cdot3 + 4 - a < 0 \Leftrightarrow9 - 6a + 3+ 4-a < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 7a > 16 \Rightarrow a > \frac{16}{7}$$

Ответ: $\left(\frac{16}{7}; +\infty\right)$

Решение 1.

Нам известны три точки: $$(-1, -1), (-2, -4), (-3, -5)$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a\cdot(-1)^2 -b + c = -1\\ a\cdot(-2)^2 - 2b + c = -4\\ a\cdot(-3)^2 - 3b + c = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a - b + c = -1\\ 4a - 2b + c = -4\\ 9a - 3b + c = -5 \end{cases}$$

Решая систему, мы получаем значения: $$a = 1, b = 6, c = 4$$

Запишем функцию: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Найдём значение $f(1)$: $$f(1) = 1 + 6 + 4 = 11$$

Решение 2.

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-3, -5)$
• Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 3)^2 - 5$$

Используем точку $(-1, -1)$: $$-1 = a(-1 + 3)^2 - 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(1)$: $$f(1) = (1 + 3)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$

Для четырёхугольника с вписанной окружностью: $$AB + CD = AD + BC$$ $$10 + 15 = AD + 11$$ $$AD = 25 - 11 = 14$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+16)e^{16-x}\right)' = e^{16-x} + (x+16)(-e^{16-x}) = e^{16-x} + (-x - 16) e^{16-x}$$

$$e^{16-x}(1 - x - 16) = e^{16-x}(-15 - x)$$

1. Найдём нули производной: $$(-15-x)e^{16-x} = 0 \Rightarrow x=-15$$ (так как $e^{16-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < -15$ и убывает при $x > -15$, поэтому $x = -15$ - точка максимума.

Сделаем замену $t = x^2 \geq 0$. Тогда неравенство примет вид: $$2t^2 - 17t + 36 \geq 0$$

Найдем корни квадратного уравнения: $$2t^2 - 17t + 36 = 0 \Rightarrow t = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{4} = \frac{17 \pm 1}{4}$$ $$t_1 = 4, \quad t_2 = \frac{9}{2}$$

Решение неравенства: $$t \leq 4 \quad \text{или} \quad t \geq \frac{9}{2}$$

1. $x^2 \leq 4$ $$-2 \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in [-2; 2]$$

2. $x^2 \geq \frac{9}{2}$ $$x \leq -\frac{3\sqrt{2}}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x \in\left[-\frac{3\sqrt2}{2}; \frac{3\sqrt2}{2}\right]$$

Сравним концы промежутков: $$2 < \frac{3\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 4 < 3\sqrt2 \Leftrightarrow 16 < 18 \text{ верно }$$ $$-2 > -\frac{3\sqrt2}{2} \Leftrightarrow 2 <\frac{3\sqrt2}{2} \text{ верно }$$

Ответ: $x \in (-\infty; -\tfrac{3\sqrt{2}}{2}] \cup [-2; 2] \cup [\tfrac{3\sqrt{2}}{2}; +\infty)$