Трапеции

1. Так как $BE \parallel CD$ и $BC \parallel DE$, то $BCDE$ - параллелограмм. Следовательно: $$DE = BC = 4$$ $$BE = CD$$

2. Периметр треугольника $ABE$: $$AB + BE + AE = 15$$

3. Периметр трапеции $ABCD$: $$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = AB + BC + BE + AE + ED =$$ $$= AB + BE + AE + BC + ED = P_{ABE} + 2\cdot ED = 15 + 2\cdot 4 = 23$$

1. Найдём высоту трапеции $BH$: $$BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

2. Найдём отрезок $AH$: $$AH = AB \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$

3. Меньшее основание: $$BC = AD - 2 \cdot AH = 25 - 2 \cdot 5 = 15$$

1. Найдём отрезок $AH$: $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 12}{2} = 7.5$$

2. Найдём боковую сторону: $$AB = \frac{AH}{\cos 60^\circ} = \frac{7.5}{0.5} = 15$$

3. Периметр трапеции: $$P = AB + BC + CD + DA = 15 + 12 + 15 + 27 = 69$$

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Пусть углы при большем основании равны $x$, тогда углы при меньшем основании равны $180^\circ - x$. Разность противолежащих углов:

$$x - (180^\circ - x) = 50^\circ$$ $$2x - 180^\circ = 50^\circ$$ $$2x = 230^\circ$$ $$x = 115^\circ$$

Больший угол равен $115^\circ$.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN = \frac{AB + CD}{2}$$ $$28 = \frac{18 + CD}{2}$$ $$56 = 18 + CD$$ $$CD = 38$$