Трапеции

Так как трапеция равнобедренная: $AH = KD$

Найдём боковую сторону из прямоугольного треугольника $ABH$:

$$AB = \frac{AH}{\cos A} = \frac{AD - BC}{2\cdot\cos A}$$

Найдём $\cos A$:

$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,64} = 0,6$$

Подставляем:

$$AB = \frac{AD - BC}{2\cdot 0,6} = \frac{6}{1,2} = 5$$

Рассмотрим треугольники $BMN$ и $MNC$. Они равнобедренные, так как $\angle NMC = \angle MCN = 45^\circ = \angle BMN = \angle NBM$. Эти треугольники равны, так как $BM = MC$ и $NM$ – общая сторона, а $\angle BMN = \angle NMC$.

Значит:

$$BN = NM = NC = \frac{BC}{2}$$

Аналогично для треугольников $AMH$ и $HMD$:

$$AH = HD = HM = \frac{AD}{2}$$

Найдём среднюю линию трапеции:

$$EF = \frac{BC + AD}{2} = NM + HM = 12$$

Пусть $GH$ – средняя линия трапеции. Тогда отрезки $GE$ и $FH$ равны $\frac{BC}{2}$ как средние линии треугольников $ABC$ и $BDC$.

Тогда:

$$EF = GH - GE - FH = \frac{AD + BC}{2} - 2\cdot GE = \frac{5}{2} - 2\cdot\frac{BC}{2} = 2,5 - 2 = 0,5$$

Пусть $m$ – средняя линия: $$m = (AD + BC)\cdot\frac{1}{2} = ((AH + HD) + (HD - AH))\cdot\frac{1}{2} = \frac{2HD}{2} = HD = 10$$

Рассмотрим треугольник $ABH$: $$\angle ABH = 180^\circ - \angle BAH - \angle AHB = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ$$

Значит треугольник $ABH$ равнобедренный и $AH = BH$.

По свойствам равнобедренной трапеции:

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 9}{2} = 3 = BH$$