Графики функций

Из условия задачи нам известны следующие значения функции: $$\begin{align*} f(-2) &= 4a - 2b - 6 = -4 \\ f(1) &= a + b - 6 = -1 \end{align*}$$

Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ 2a + 2b = 10 \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$6a = 12 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ во второе уравнение: $$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$$

Теперь запишем уравнение функции: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 6$$

Вычислим $f(-6)$: $$f(-6) = 2 \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 6 = 2 \cdot 36 - 18 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$$

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из рисунка видно:

• Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$
• Парабола проходит через точку $(0, -1)$

Используем формулу параболы через вершину: $$g(x) = a(x + 1)^2 - 2$$

Подставим точку $(0, -1)$: $$-1 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$g(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Корни уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 7 \end{cases}$$

2. Вычислим ординату точки $B$: $$g(7) = 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 49 + 14 - 1 = 62$$

Ответ 62

График "левой" параболы является графиком функции $f(x)$, так как её ветви более узкие засчёт коэффициента $a = 3$ при старшей степени $x^2$.

Теперь определим коэффициенты функции $g(x)$. Ветви "правой" параболы пересекают ось $Ox$ в точках $x_1 = 1, x_2 = 3$, где $x_1, x_2$ – корни уравнения $g(x) = 0$.

Тогда представим функию в виде: $$g(x) = a(x - 1)(x - 3)$$

Подставим в неё координаты точки $A$: $$g(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -1 \Leftrightarrow -a = -1 \Rightarrow a = 1$$

Тогда функцию $g(x)$ запишем в виде: $$g(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$g(x) = f(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 3x^2 - 7x + 1$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + \tfrac{1}{2})(x - 2) = 0$$

Значение $x = 2$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-0,5$.

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} g(-3) &= 2 \\ g(-1) &= -2 \\ g(2) &= 7 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a(-3)^2 + b(-3) + c = 2 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = -2 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9a - 3b + c = 2 \\ a - b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = 7 \end{cases}$$

Решим систему:

1. Вычтем второе уравнение из первого: $$8a - 2b = 4 \quad (1)$$
2. Вычтем второе уравнение из третьего: $$3a + 3b = 9 \quad (2)$$
3. Упростим уравнения: $$\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + b = 3 \end{cases}$$
4. Сложим уравнения: $$5a = 5 \Rightarrow a = 1$$
5. Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $$1 + b = 3 \Rightarrow b = 2$$
6. Найдём $c$ из второго исходного уравнения: $$1 - 2 + c = -2 \Rightarrow c = -1$$

Таким образом: $$g(x) = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ $$D = 81 - 56 = 25$$ $$x = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \quad \text{(точка A)} \\ x_2 = 7 \quad \text{(точка B)} \end{cases}$$

Нам известна точка $(3, 1)$. Подставим соответствующие значения и найдём $k$: $$f(3) = \frac{k}{3} = 1 \Rightarrow k = 3$$

Найдём значение $f(\tfrac{1}{3})$: $$f(\tfrac{1}{3}) = \frac{3}{\tfrac{1}{3}} = 9$$