Уравнения

Решение:

а) Перенесём все члены в одну сторону: $$2\sin^3 x = \sqrt{2}\cos^2x + 2\sin x$$ Выразим $\cos^2x$ через $\sin x$: $$2\sin^3 x - \sqrt{2}(1 - \sin^2x) - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt2\sin^2 x(\sqrt2\sin x+ 1) - \sqrt2(\sqrt2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (\sqrt2\sin x + 1)(\sqrt2\sin^2x - \sqrt2) \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 1 \\ &\sin x = -1 \\ &\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \\ &x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{5\pi}{2}$

\textbf{Решение:}

а) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: $$\log_9(3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2) = \log_9 9^x,$$ $$3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x.$$

Так как $3^{2x} = 9^x$, получаем: $$9^x + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x,$$ $$5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 0.$$

Выразим $\cos^2 x$ через $\sin x$: $$5\sqrt{2}\sin x - 6(1 - \sin^2 x) - 2 = 0,$$ $$6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0.$$

Сделаем замену $t = \sin x$: $$6t^2 + 5\sqrt{2}t - 8 = 0.$$

Найдём дискриминант: $$D = (5\sqrt{2})^2 - 4\cdot 6 \cdot (-8) = 50 + 192 = 242 = (11\sqrt{2})^2.$$

Тогда $$t = \frac{-5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12}.$$

Получаем: $$t_1 = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad t_2 = \frac{-16\sqrt{2}}{12} = -\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

Так как $\sin x \in [-1; 1]$, то $t_2 = -\frac{4\sqrt{2}}{3} < -1$ не подходит. Остаётся $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно, $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности. Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le \frac{1}{4} + 2k \le -\frac{1}{2}.$$ Вычтем $\frac{1}{4}$: $$-\frac{9}{4} \le 2k \le -\frac{3}{4}.$$ Разделим на 2: $$-\frac{9}{8} \le k \le -\frac{3}{8}.$$ Целое $k$: $k = -1$. Тогда $$x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}.$$

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $$-2\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le -\frac{\pi}{2}.$$ Разделим на $\pi$: $$-2 \le \frac{3}{4} + 2k \le -\frac{1}{2}.$$ Вычтем $\frac{3}{4}$: $$-\frac{11}{4} \le 2k \le -\frac{5}{4}.$$ Разделим на 2: $$-\frac{11}{8} \le k \le -\frac{5}{8}.$$ Целое $k$: $k = -1$. Тогда $$x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}.$$

Отметим корни на тригонометрической окружности.

Следовательно, корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{4}, \quad -\frac{5\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,\; x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{7\pi}{4};\, -\frac{5\pi}{4}$.