Неравенства

1. Подставляем данные в формулу: $$90 = 24t - \frac{3}{2}t^2$$

2. Упрощаем уравнение: $$3t^2 - 48t + 180 = 0 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 16t + 60 = 0$$

3. Находим корни: $$t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}$$ $$t_1 = 6\, \text{с}, \quad t_2 = 10\, \text{с}$$

4. Анализируем физический смысл: $$t_{\text{ост}} = \frac{v_0}{a} = 8\, \text{с}, \quad \text{поэтому } t = 6\, \text{с}$$

Ответ. 6

1. Анализ графика показывает, что движение состоит из трёх участков:

• Участок I: $t \in [0; 10]$ с — скорость изменяется от 0 до $-15$ м/с
• Участок II: $t \in [10; 20]$ с — скорость постоянна и равна $-15$ м/с
• Участок III: $t \in [20; 30]$ с — скорость изменяется от $-15$ до $5$ м/с

1. Найдём ускорение на каждом участке:

   Для участка I ($0 \leq t \leq 10$ с): $$a_{x1} = \frac{v_x(10)-v_x(0)}{t(10)-t(0)} = \frac{-15 - 0}{10 - 0} = -1{,}5 \text{ м/с}^2$$

   Для участка II ($10 \leq t \leq 20$ с): $$a_{x2} = \frac{v_x(20)-v_x(10)}{t(20)-t(10)} = \frac{-15 - (-15)}{20 - 10} = 0 \text{ м/с}^2$$

   Для участка III ($20 \leq t \leq 30$ с): $$a_{x3} = \frac{v_x(30)-v_x(20)}{t(30)-t(20)} = \frac{5 - (-15)}{30 - 20} = \frac{20}{10} = 2 \text{ м/с}^2$$

2. Определение ускорения в момент $t = 25$ с:

   Поскольку $t = 25$ с принадлежит участку III ($20 \leq t \leq 30$ с), то: $$a_x(25) = a_{x3} = 2 \text{ м/с}^2$$

1. Сначала ион разгоняется в электрическом поле. Сила тяжести и размеры частицы малы, поэтому учитываем только действие электрического поля. Работа поля связывает начальную и конечную кинетическую энергию (по теореме о кинетической энергии):

$$A = \Delta W_k = W_{k,\,\text{кон}} - W_{k,\,0}$$

где $A = qU$ — работа электрического поля, $U$ — разность потенциалов. Пусть $v$ — скорость, которую набирает частица:

$$qU = \frac{m v^2}{2}$$

(Начальной энергией при вылете из источника пренебрегаем.)

1. После этого частица со скоростью $v$ движется в магнитном поле по окружности радиуса $R$. Сила Лоренца даёт центростремительное ускорение:

$$F_2 = qvB$$ Второй закон Ньютона для движения по окружности:

$$m \frac{v^2}{R} = q v B$$ $$\frac{m v}{q R} = B$$

Теперь комбинируем обе формулы. Выразим скорость: $$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Подставим $v$ в формулу для магнитной индукции: $$B = \frac{m}{q R} \cdot \sqrt{2qU/m} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{m}{q} 2U}$$

При численных значениях ответ будет: $$B = 0{,}5~\text{Тл}$$

Ответ: $0.5~\text{Тл}$

Для определения скорости тела разложим её на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Горизонтальная скорость остаётся неизменной во времени, поэтому: $$v_x = v_0 \cos{\alpha}$$ Вертикальная составляющая изменяется законом: $$v_y = v_0 \sin{\alpha} - g t$$

Полная скорость тела через время $t$ равна: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - g t)^2}$$

Подставим значения $v_0 = 20$ м/с, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$ м/с$^2$, $t = 0.5$ с: $$v_x = 20 \cdot \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}~\text{м/с}$$ $$v_y = 20 \cdot \sin 30^\circ - 10 \cdot 0.5 = 20 \cdot 0.5 - 5 = 10 - 5 = 5~\text{м/с}$$

Теперь вычислим модуль скорости: $$v = \sqrt{ \left(20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 5^2 } = 5 \cdot \sqrt{13} \approx 18~\text{м/с}$$

Ответ: $v \approx 18~\text{м/с}$