Числа и их свойства

а)

Проверим, возможно ли, чтобы трёхзначное число было в девять раз больше произведения своих цифр, то есть: $$100a + 10b + c = 9abc.$$ Подставим подходящие значения, чтобы проверить это равенство. Пусть $a = 1$, $b = 3$, $c = 5$. Тогда: $$\overline{abc} = 100 \cdot 1 + 10 \cdot 3 + 5 = 135, \quad abc = 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15.$$ Действительно, $135 = 9 \cdot 15$. Значит, такой случай возможен.

б)

Теперь проверим, возможно ли равенство: $$100a + 10b + c = 2abc.$$ Заметим, что правая часть чётная, значит и левая также должна быть чётной. Следовательно, $c$ — чётная цифра. Переберём возможные значения $c = 2, 4, 6, 8$, и для каждого значения подставим выражение в уравнение.

• При $c = 2$: $$50a + 5b + 1 = 2ab \Rightarrow 2a(25 - b) + 5b + 1 = 0.$$
• При $c = 4$: $$50a + 5b + 2 = 4ab \Rightarrow 2a(25 - 2b) + 5b + 2 = 0.$$
• При $c = 6$: $$50a + 5b + 3 = 6ab \Rightarrow 2a(25 - 3b) + 5b + 3 = 0.$$ При $b \leq 8$:
  $b = 9 \Rightarrow -4a + 48 = 0 \Rightarrow a = 12 > 9$.
• При $c = 8$: $$50a + 5b + 4 = 8ab \Rightarrow 2a(25 - 4b) + 5b + 4 = 0.$$ При $b = 7$:
  $-6a + 35 + 4 = 0 \Rightarrow a = 6.5$. $b = 8$:
  $-14a + 44 + 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{22}{7}$.
  $b = 9$:
  $-22a + 46 + 4 = 0 \Rightarrow a = \frac{49}{22}$.

Ни один из вариантов не подошёл, значит это невозможно.

в)

Требуется найти наибольшее значение дроби: $$\frac{\overline{abc}}{abc} = n.$$ Представим это как: $$\frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab}.$$ Чтобы выражение было наибольшим, нужно минимизировать знаменатели, то есть взять $a = b = c = 1$: $$\frac{100}{1} + \frac{10}{1} + \frac{1}{1} = 111.$$

Ответ:
а) Да, возможно.
б) Нет, невозможно.
в) Наибольшее значение — $111$.

а) Пусть $$100a + 10b + c = 5abc.$$ Да, пример: $$a = 1,\ b = 7,\ c = 5 \Rightarrow \overline{abc} = 100 + 70 + 5 = 175,\quad abc = 1 \cdot 7 \cdot 5 = 35.$$ $$5 \cdot abc = 5 \cdot 35 = 175 = \overline{abc}.$$ Ответ: Да.

б) Проверим возможность равенства: $$100a + 10b + c = 120abc.$$

Минимальное значение правой части: $$a = b = c = 1 \Rightarrow abc = 1,\quad 120 \cdot abc = 120.$$

Максимум левой части: $$a = b = c = 1 \Rightarrow \overline{abc} = 100 + 10 + 1 = 111.$$

Но $120 > 111$, и при увеличении $a$, $b$ или $c$, произведение $abc$ увеличивается быстрее, чем сумма $100a + 10b + c$.

Вывод: левая часть не может быть равна 120-ти произведениям $abc$.

Ответ: Нет, невозможно.

в) Рассмотрим отношение: $$\frac{\overline{abc}}{abc} = \frac{100a + 10b + c}{abc}.$$

Преобразуем: $$\frac{100a + 10b + c}{abc} = \frac{100}{bc} + \frac{10}{ac} + \frac{1}{ab}.$$

Чтобы отношение было наименьшим, необходимо, чтобы все слагаемые были минимальными, то есть знаменатели — максимальными.

Максимум: $a = b = c = 9$.

$$abc = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729,\quad \overline{abc} = 100 \cdot 9 + 10 \cdot 9 + 9 = 999.$$ $$\frac{999}{729} = \frac{111}{81} = \frac{37}{27}.$$

Ответ: $\dfrac{37}{27}$.

Итоговые ответы:

• [а)]а) Да;
• [б)]б) Нет;
• [в)] в)$\dfrac{37}{27}$.

а) Пусть первое число это $N$, второе $M = 4S(N)$, а третье $L = 4S(M)$.

Может ли $N + M + L = 2025$?

Приведем пример:

$$N = 1941$$ $$M = 4 \cdot (1 + 9 + 4 + 1) = 4 \cdot 15 = 60$$ $$L = 4 \cdot (6 + 0) = 4 \cdot 6 = 24$$ $$\text{Сумма этих чисел: } 1941 + 60 + 24 = 2025.$$

Ответ: Да, может.

б) Может ли $N + M + L = 2026$?

Представим $N$ (первое число) как $1000a + 100b + 10c + d$.

Тогда $M = 4(a + b + c + d)$ и $L = 4(a + b + c + d)$, то есть:

$$N + M + L = 1000a + 100b + 10c + d + 4(a + b + c + d) + 4(4(a + b + c + d)) =$$ $$= 1000a + 100b + 10c + d + 4a + 4b + 4c + 4d + 16a + 16b + 16c + 16d =$$ $$= (1000 + 4 + 16)a + (100 + 4 + 16)b + (10 + 4 + 16)c + (1 + 4 + 16)d =$$ $$= 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Следовательно: $$N + M + L = 1020a + 120b + 30c + 21d$$

Так как $N$, $M$, $L$ — целые, то вся сумма кратна $3$, но $2026$ на $3$ не делится.

Ответ: Нет, не может.

в) По условию $L = 4S(M) = 16 \Rightarrow S(M) = 4$.

Так как $M = 4S(N)$, нужно найти все такие $M$, у которых сумма цифр равна $4$, и которые делятся на $4$ (иначе $M \ne 4S(N)$).

Переберём подходящие $M$ и вычислим соответствующие $S(N)$:

• $M = 4 \Rightarrow S(N) = 1$
• $M = 40 \Rightarrow S(N) = 10$
• $M = 112 \Rightarrow S(N) = 28$

Теперь найдём количество четырёхзначных чисел $N$, у которых сумма цифр равна $1$, $10$ или $28$.

Случай 1: $S(N) = 1$ Единственное четырёхзначное число: $1000$.

Случай 2: $S(N) = 10$

Перебираем возможные значения первой цифры $a_1$ (она от 1 до 9, т.к. число четырёхзначное), оставшиеся $a_2 + a_3 + a_4 = 10 - a_1$.

• $a_1 = 1 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 9$: 55 вариантов
• $a_1 = 2 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 8$: 45 вариантов
• $a_1 = 3 \Rightarrow 7$: 36 вариантов
• $a_1 = 4 \Rightarrow 6$: 28
• $a_1 = 5 \Rightarrow 5$: 21
• $a_1 = 6 \Rightarrow 4$: 15
• $a_1 = 7 \Rightarrow 3$: 10
• $a_1 = 8 \Rightarrow 2$: 6
• $a_1 = 9 \Rightarrow 1$: 3

Сумма: $55 + 45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 = 219$

Случай 3: $S(N) = 28$

Аналогично:

• $a_1 = 9 \Rightarrow a_2 + a_3 + a_4 = 19$: 45 вариантов
• $a_1 = 8 \Rightarrow 20$: 36 вариантов
• $a_1 = 7 \Rightarrow 21$: 28
• $a_1 = 6 \Rightarrow 22$: 21
• $a_1 = 5 \Rightarrow 23$: 15
• $a_1 = 4 \Rightarrow 24$: 10
• $a_1 = 3 \Rightarrow 25$: 6
• $a_1 = 2 \Rightarrow 26$: 3
• $a_1 = 1 \Rightarrow 27$: 1

Сумма: $45 + 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 165$

Итоговое количество подходящих четырёхзначных чисел: $$1 + 219 + 165 = \boxed{385}$$

Ответ: а) да;
б) нет;
в) $385$

а) Пусть Мите выпало $15$ раз число $1$, $15$ раз число $3$ и $15$ раз число $4$. Тогда всего он совершил $$15+15+15=45$$ бросков, а их результат равен $$15\cdot(-1)+15\cdot(-3)+15\cdot4$$ $$=-15-45+60=-60+60=0.$$ Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «$0$».

б) Разобьём броски на пары «чётное число — нечётное число». Мы можем это сделать, так как по условию чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно $5-2=3$, поскольку наибольшее нечётное число на кубике равно $5$, а наименьшее чётное равно $2$.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «$-35$», необходимо не менее $$\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$$ пар. Поскольку число пар целое, их не менее $12$. Но давайте поймём, что внутри пары шаг обязательно равен нечётному числу, так как мы вычитаем из нечётного числа чётное. То есть за $12$ таких пар мы переместимся $12$ раз на нечётное число шагов, что является чётным числом в сумме, но $-35$ — число нечётное, поэтому пар не менее $13$. То есть всего бросков не менее $26$. Для $13$ пар представим пример.

Пусть Мите выпало $13$ раз число $5$, $12$ раз число $2$ и $1$ раз число $6$. Тогда его фишка оказалась на отметке $$13\cdot(-5)+12\cdot2+1\cdot6$$ $$=-65+24+6=-35.$$

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано $2n$ бросков, то есть выпало $n$ чётных и $n$ нечётных чисел. Пусть выпало $a$ единиц, $b$ троек, $c$ четвёрок, $d$ шестёрок. Тогда количества пятёрок и двоек однозначно восстанавливаются — это $n-a-b$ и $n-c-d$ соответственно. Значит, позиция фишки будет равна $$-40=-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=$$ $$=-a-3b-5n+5a+5b+4c+6d+2n-2c-2d=$$ $$=4a+2b-3n+2c+4d=4a+2b+2c+4d-3n.$$

Так как каждое число выпало не менее $1$ раза, причём все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства: $$a+b+c+d\ge1+2+3+4=10,$$ $$a+d\ge1+2=3.$$

Тогда $$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)\ge$$ $$\ge2\cdot10+2\cdot3=20+6=26.$$

Откуда $$4a+2b+2c+4d\ge26,$$ $$4a+2b+2c+4d-3n\ge26-3n,$$ $$-42\ge26-3n,$$ $$3n\ge26+42,$$ $$3n\ge68,$$ $$n\ge23.$$

При этом $n$ не может быть нечётным числом, так как при нечётных $n$ фишка оказывается на позициях с нечётной координатой. Тогда $n\ge24$. Таким образом, всего Митя сделал не менее $$2n=2\cdot24=48$$ бросков.

Приведём пример. Пусть число $1$ было выброшено $1$ раз, число $3$ — $3$ раза, число $5$ — $20$ раз, число $6$ — $4$ раза, число $4$ — $2$ раза, число $2$ — $18$ раз. Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причём как чётные, так и нечётные числа выпали по $24$ раза. Итоговая позиция фишки равна $$1\cdot(-1)+3\cdot(-3)+20\cdot(-5)+4\cdot6+2\cdot4+18\cdot2$$ $$=-1-9-100+24+8+36=-110+68=-42.$$

Итого, Митя сделал $48$ бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «$-42$».

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) $26$
• [в)]в) $48$

а) Пусть Мите выпало $15$ раз число $1$, $15$ раз число $3$ и $15$ раз число $4$. Тогда всего он совершил $$15+15+15=45$$ бросков, а их результат равен $$15\cdot(-1)+15\cdot(-3)+15\cdot4$$ $$=-15-45+60=-60+60=0.$$ Таким образом, фишка Мити оказалась на отметке «$0$».

б) Разобьём броски на пары «чётное число — нечётное число». Мы можем это сделать, так как по условию чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Внутри такой пары максимально возможное смещение влево равно $5-2=3$, поскольку наибольшее нечётное число на кубике равно $5$, а наименьшее чётное равно $2$.

Тогда для того, чтобы оказаться в точке «$-35$», необходимо не менее $$\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$$ пар. Поскольку число пар целое, их не менее $12$. Но давайте поймём, что внутри пары шаг обязательно равен нечётному числу, так как мы вычитаем из нечётного числа чётное. То есть за $12$ таких пар мы переместимся $12$ раз на нечётное число шагов, что является чётным числом в сумме, но $-35$ — число нечётное, поэтому пар не менее $13$. То есть всего бросков не менее $26$. Для $13$ пар представим пример.

Пусть Мите выпало $13$ раз число $5$, $12$ раз число $2$ и $1$ раз число $6$. Тогда его фишка оказалась на отметке $$13\cdot(-5)+12\cdot2+1\cdot6$$ $$=-65+24+6=-35.$$

в) Оценим снизу номер позиции фишки, если было сделано $2n$ бросков, то есть выпало $n$ чётных и $n$ нечётных чисел. Пусть выпало $a$ единиц, $b$ троек, $c$ четвёрок, $d$ шестёрок. Тогда количества пятёрок и двоек однозначно восстанавливаются — это $n-a-b$ и $n-c-d$ соответственно. Значит, позиция фишки будет равна $$-40=-a-3b-5(n-a-b)+4c+6d+2(n-c-d)=$$ $$=-a-3b-5n+5a+5b+4c+6d+2n-2c-2d=$$ $$=4a+2b-3n+2c+4d=4a+2b+2c+4d-3n.$$

Так как каждое число выпало не менее $1$ раза, причём все числа выпали разное количество раз, то имеют место неравенства: $$a+b+c+d\ge1+2+3+4=10,$$ $$a+d\ge1+2=3.$$

Тогда $$4a+2b+2c+4d=2(a+b+c+d)+2(a+d)\ge$$ $$\ge2\cdot10+2\cdot3=20+6=26.$$

Откуда $$4a+2b+2c+4d\ge26,$$ $$4a+2b+2c+4d-3n\ge26-3n,$$ $$-42\ge26-3n,$$ $$3n\ge26+42,$$ $$3n\ge68,$$ $$n\ge23.$$

При этом $n$ не может быть нечётным числом, так как при нечётных $n$ фишка оказывается на позициях с нечётной координатой. Тогда $n\ge24$. Таким образом, всего Митя сделал не менее $$2n=2\cdot24=48$$ бросков.

Приведём пример. Пусть число $1$ было выброшено $1$ раз, число $3$ — $3$ раза, число $5$ — $20$ раз, число $6$ — $4$ раза, число $4$ — $2$ раза, число $2$ — $18$ раз. Действительно, каждое число выпало не менее раза, нет двух чисел, которые выпали одинаковое количество раз, причём как чётные, так и нечётные числа выпали по $24$ раза. Итоговая позиция фишки равна $$1\cdot(-1)+3\cdot(-3)+20\cdot(-5)+4\cdot6+2\cdot4+18\cdot2$$ $$=-1-9-100+24+8+36=-110+68=-42.$$

Итого, Митя сделал $48$ бросков, что является минимально возможным количеством бросков, при котором выполняется условие задачи, и фишка оказалась на отметке «$-42$».

Ответ:

• [a)]а) Да
• [б)]б) $26$
• [в)]в) $48$