Числа и их свойства

% Обозначения для удобства Обозначим $C_k$ — $k$-й спортсмен.
$(a_k; b_k; c_k) \Rightarrow R_k = 10a_k + 4b_k + c_k$ — формула для рейтинга.
$c_1$ — спортсмен с самым высоким рейтингом по новой формуле.

% Пример распределения рейтингов $$\begin{aligned} C_1(0; 0; 10) &\Rightarrow R_1 = 10 \\ C_2(1; 0; 9) &\Rightarrow R_2 = 19 \\ C_3(1; 1; 8) &\Rightarrow R_3 = 23 \\ C_4(1; 2; 7) &\Rightarrow R_4 = 27 \\ C_5(1; 3; 6) &\Rightarrow R_5 = 31 \\ C_6(1; 4; 5) &\Rightarrow R_6 = 35 \\ C_7(1; 5; 4) &\Rightarrow R_7 = 39 \\ C_8(1; 6; 3) &\Rightarrow R_8 = 43 \\ C_9(1; 7; 2) &\Rightarrow R_9 = 47 \\ C_{10}(2; 0; 8) &\Rightarrow R_{10} = 48 \end{aligned}$$

% Проверка на пункт а) а)
Проверим, может ли спортсмен с наивысшим рейтингом в этом году (например, $C_{10}$) иметь наименьший рейтинг по старым правилам.
Сравним $(a;b;c)$: $$C_1: (0; 0; 10),\quad C_{10}: (2; 0; 8)$$

% У C_{10} больше первых мест, чем у C_1 → рейтинг выше Видим, что $a_{10} > a_1$, следовательно, рейтинг $C_{10}$ выше и по старым правилам.
Ответ: Да

б)
Суммарное количество очков за один этап: $10 + 4 + 1 = 15$
Всего этапов — 10, значит всего очков: $150$
Предположим, что разность между любыми двумя рейтингами хотя бы $r$.
Пусть рейтинги возрастают: $$R_1, R_2, \ldots, R_{10}, \text{ где } R_{i+1} - R_i \ge r$$

Минимальная сумма тогда: $$R_1 + R_2 + \dots + R_{10} \ge 0 + r + 2r + \dots + 9r = 45r \Rightarrow 45r \le 150 \Rightarrow r \le \dfrac{10}{3} \Rightarrow r \le 3$$

Попробуем $r = 3$, это наибольшее целое значение, подходящее по условию.
Ответ: 3

в)
Обозначим сумму очков: $$\sum_{-} = R_{10} + R_9 + \dots + R_6 \quad \text{(5 наименьших)} \\ \sum_{+} = R_5 + R_4 + \dots + R_1 \quad \text{(5 наибольших)} \\$$

Разница между средними арифметическими: $$\frac{\sum_{+}}{5} - \frac{\sum_{-}}{5} = \frac{\sum_{+} - \sum_{-}}{5} = \frac{2k - 150}{5}, \text{ где } k = \sum_{+}$$

% Нужно минимизировать эту величину Минимум этой величины достигается при минимальном $2k - 150$ → минимизируем $k$

Но $k = \sum_{+}$ — сумма 5 наибольших рейтингов, а $\sum_{-} = 150 - k$ — 5 наименьших.
При равенстве сумм: $k = 75 \Rightarrow$ разница будет $0$.
Но нам нужна наименьшая положительная разность, при которой все рейтинги — разные.

Подбором можно найти: $$\sum_{+} = 90,\quad \sum_{-} = 60 \Rightarrow \frac{90 - 60}{5} = \boxed{6}$$

Ответ:
а) да
б) $3$
в) $6$

Сначала найдём суммарную массу всех камней: $$2 \cdot 100 + 6 \cdot 20 + 4 \cdot 4 = 200 + 120 + 16 = 336\ \text{тонн}.$$

а)

Обозначим массу первой группы как $x$. Тогда, по условию: $$\text{вторая группа: } x - 12, \quad \text{третья группа: } x + 12.$$ Сумма масс всех групп: $$x + (x - 12) + (x + 12) = 3x = 336 \Rightarrow x = 112.$$ Значит, массы групп: $112$, $100$ и $124$ тонн.

Проверим, можно ли собрать такие группы из имеющихся камней:

• В первую группу положим один камень на 100 т и три по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Во вторую — один камень на 100 т: $100$.
• В третью — шесть по 20 т и один по 4 т: $6 \cdot 20 + 4 = 124$.

Такое разбиение возможно.

б)

Пусть масса каждой группы равна $y$. Тогда: $$3y = 336 \Rightarrow y = 112.$$ То есть требуется разложить камни на три группы по 112 тонн.

Попробуем:

• Первая группа: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т: $100 + 3 \cdot 4 = 112$.
• Осталось 1 камень на 100 т, 6 по 20 т и 1 по 4 т.
• Вторая группа: чтобы получить 112 т, положим 6 камней по 20 т (это 120 т), но тогда потребуется камень массой $-8$ т — невозможно.

Альтернативно: если в одну из групп входит 3 камня по 4 т (12 т), то других таких групп не собрать — 4-тонных камней всего 4.

Значит, невозможно разложить на 3 группы по 112 тонн.

в)

Пусть массы групп — $m_1 > m_2 > m_3$, а $d$ — минимальное возможное значение, при котором: $$m_1 - m_2 \leq d \quad \text{и} \quad m_2 - m_3 \leq d.$$ Сумма всех трёх масс: $m_1 + m_2 + m_3 = 336$.

Так как все массы — целые и делятся на 4 (все камни кратны 4), $d$ также должно делиться на 4.

Из б) знаем, что $d \ne 0$, значит минимум — $d = 4$.

Проверим $d = 4$.

• Если $m_1 = 116$, то остальные две группы в сумме дают $220$ тонн. Надо распределить это как $m_2 = 112$, $m_3 = 108$. Но камней всего 336 т, а $116 + 112 + 108 = 336$, всё хорошо.
• Проверим подбор: 4-тонных камней не хватит, чтобы одновременно собрать группы с разницей ровно в 4 т. Подбор приводит к противоречиям (см. б)).
• Проверим $d = 8$. Возьмём: $m_1 = 120$, $m_2 = 112$, $m_3 = 104$. Это удовлетворяет: $$m_1 - m_2 = 8, \quad m_2 - m_3 = 8.$$ Проверим возможность разложения: - В первую группу: 6 камней по 20 т = 120 т. - Во вторую: 1 камень на 100 т и 3 по 4 т = $100 + 12 = 112$. - В третью: 1 камень на 100 т и 1 по 4 т = $100 + 4 = 104$.

Такое разбиение возможно. Значит, минимальное возможное $d = 8$.

Ответ:
а) Да, можно.
б) Нет, нельзя.
в) $d = 8$.

а) Вычислим общую массу камней: $$4 \cdot 100 + 5 \cdot 25 + 6 \cdot 4 = 400 + 125 + 24 = 549 \text{ тонн}.$$

Пусть масса камней в каждой группе равна $x$ тонн. Тогда имеем: $$x + x + x = 549 \Rightarrow 3x = 549 \Rightarrow x = 183.$$

Тогда в каждой группе суммарный вес камней должен составлять 183 тонны.

Но заметим, что камней по 100 тонн 4 штуки, то есть в какой-то группе должно лежать минимум два камня по 100 тонн, так как иначе можно разложить максимум 3 камня, чего недостаточно. Но два камня весом 100 тонн имеют суммарный вес 200 тонн, что больше 183 тонн.

Тогда такое невозможно.

б) Суммарная масса всех камней равна 549 тонн.

Пусть масса камней в первой группе равна $x$ тонн. Тогда масса камней во второй группе равна $x - 50$ тонн, а в третьей группе — $x + 50$ тонн. Тогда имеем: $$x + x - 50 + x + 50 = 549 \Rightarrow 3x = 549 \Rightarrow x = 183.$$

То есть в первой группе масса камней равна 183 тоннам, во второй — 133 тоннам, а в третьей — 233 тоннам.

Рассуждения выше можно не писать в решении на экзамене. Они приведены для того, чтобы читатель понял логику построения примера.

Пусть в первой группе 1 камень весом 100 тонн, 3 камня весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Во второй группе 2 камня весом по 100 тонн, 1 камень весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Тогда в третьей группе 1 камень весом 100 тонн, 1 камень весом 25 тонн и 2 камня весом 4 тонны. Получим, что в первой группе суммарный вес камней равняется $100 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 4 = 183$ тоннам, во второй группе $2 \cdot 100 + 25 + 2 \cdot 4 = 233$ тоннам. Необходимое условие выполнено.

в) Пусть вес камней в первой группе равен $x$ тонн, во второй — $y$ тонн. Тогда вес третьей группы камней равняется $549 - x - y$ тонн.

Поймем, что $m_1 = x \ge 200$, поскольку, как мы отметили в пункте (а), существует куча, где лежит не менее 2 камней по 100 тонн, то есть куча с весом не менее 200 тонн.

Тогда $$m_2 + m_3 \le 549 - 200 = 349.$$

Предположим, что $d \le 16$. Но тогда: $$m_2 \ge m_1 - 16 \ge 200 - 16 = 184$$ $$m_3 \ge m_2 - 16 \ge 184 - 16 = 168$$ $$m_2 + m_3 \ge 184 + 168 = 352 > 349.$$

То есть $d \ge 17$. На 17 есть пример.

В первой группе лежит 2 камня весом 100 тонн. Во второй группе лежит один камень весом 100 тонн, 3 камня весом по 25 тонн, 2 камня весом 4 тонны. В третьей группе лежит 1 камень весом 100 тонн, 2 камня весом 25 тонн, 4 камня весом 4 тонны. Получим группы с весами 200, 183 и 166 тонн. Тогда $$200 - 183 = 17 \le 17,\quad 183 - 166 = 17 \le 17.$$

То есть $d = 17$.

Ответ:
а) Нет
б) Да
в) 17

а)

Рассмотрим набор, в котором присутствуют как однозначные, так и двузначные числа. Пусть в набор входят числа $3$, $15$, $15$.

• Однозначное число $3$ становится $33$ (приписали ту же цифру).
• Двузначное число $15$ заменяется на $(1 + 5)/2 = 3$.

Тогда: $$S_1 = 3 + 15 + 15 = 33,\quad S_2 = 33 + 3 + 3 = 39.$$ Получается, $S_2 - S_1 = 6$ — условие выполняется. Ответ — да, возможно.

б)

Пусть в первом наборе: $3$, $71$.

• $3 \to 33$,
• $71 \to (7 + 1)/2 = 4$.

$$S_1 = 3 + 71 = 74,\quad S_2 = 33 + 4 = 37.$$ $$S_1 = 2 \cdot S_2.$$ Да, сумма первого набора может быть в два раза больше суммы второго.

в)

Нужно найти наибольшее возможное значение отношения $$\frac{S_2}{S_1},$$ если:

• В первом наборе одинаковых чисел не было;
• Количество однозначных и двузначных чисел одинаково.

Обозначим:

• $a$ — однозначное число (в первом наборе), тогда после преобразования: $a \to 11a$ (число с одинаковыми цифрами).
• $10b + c$ — двузначное число, оно переходит в $\dfrac{b + c}{2}$.

Пусть $S_1 = a + 10b + c$,    $S_2 = 11a + \dfrac{b + c}{2}$.

Тогда отношение: $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{11a + \dfrac{b + c}{2}}{a + 10b + c}.$$

Упростим числитель: $$\frac{22a + b + c}{2(a + 10b + c)}.$$

Покажем, что максимум этого отношения — 5.

Найдём максимальное значение дроби при допустимых $a, b, c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

Пусть $a = 9$ (максимум), $b = c = 1$ (минимум). Тогда: $$\frac{22 \cdot 9 + 1 + 1}{2(9 + 10 \cdot 1 + 1)} = \frac{198 + 2}{2 \cdot 20} = \frac{200}{40} = 5.$$

То есть отношение может быть максимум 5.

Проверим, можно ли достичь этого. Возьмём: $$a = 9 \Rightarrow a \to 99,\quad 11 \to 1.$$ Тогда: $$S_1 = 11 + 9 = 20,\quad S_2 = 1 + 99 = 100,\quad \frac{S_2}{S_1} = \frac{100}{20} = 5.$$

Значит, максимум достижим.

Ответ:
а) Да, может.
б) Да, может.
в) Максимальное значение отношения — $5$.

а) Пусть в первом наборе написаны числа 17, 11, 1. Тогда во втором наборе получатся числа: $$\frac{1 + 7}{2} = 4,\quad \frac{1 + 1}{2} = 1,\quad 11.$$ Сумма чисел в первом наборе равна $17 + 11 + 1 = 29$, а сумма чисел во втором наборе равна $4 + 1 + 11 = 16 = 29 - 13$. Что и требовалось.

б) Рассмотрим числа 33 и 7. Сумма чисел в наборе $33 + 7 = 40$. В новом наборе будут числа 3 и 77. Сумма этих чисел $3 + 77 = 80 = 40 \cdot 2$. То есть такое возможно.

в) Разделим первый набор чисел на две группы: однозначные и двузначные. Преобразование для однозначного числа $k$ делает из числа $k$ число $\overline{kk} = 11k$. Обозначим однозначные числа первого набора $k_1, k_2, \dots, k_n$. Двузначные числа первого набора — $a_1b_1, a_2b_2, \dots, a_n b_n$. Пусть $k_1 + k_2 + \dots + k_n = S_1$. Тогда отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется:

$$\frac{S_1 + a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_n b_n}{11S_1 + \frac{a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \dots + a_n + b_n}{2}}.$$

Обозначим $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, $B = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

Тогда отношение выше равно: $$\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B}.$$

Докажем следующий факт: $$\frac{2S_1 + 20A + 2B}{22S_1 + A + B} \leq 5{,}75.$$

Домножим обе части на знаменатель: $$2S_1 + 20A + 2B \leq 126{,}5S_1 + 5{,}75A + 5{,}75B,$$ $$14{,}25A \leq 124{,}5S_1 + 3{,}75B.$$

Домножим всё на 4: $$57A \leq 498S_1 + 15B.$$

Так как в первом наборе нет одинаковых чисел, а возможных цифр всего 5, то количество однозначных чисел в первом наборе не превышает 5, то есть $n \leq 5$.

Причем тогда: $$S_1 \geq 1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2.$$

Так как все цифры из множества $\{b_1, b_2, \dots, b_n\}$ не меньше 1 (так как 0 в записи по условию не используется), то можно оценить число $B$ снизу значением $n$, так как в этой сумме $n$ чисел не меньше 1.

При этом значение $A$ можно оценить сверху числом $9n$, так как все цифры из множества $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ не превышают 9, а в этой сумме $n$ чисел не больше 9.

То есть: $$57A \leq 57 \cdot 9n = 513n.$$

Теперь имеем: $$498S_1 + 15B \geq 498n^2 + 15n \geq 513n \geq 57A.$$

Мы пришли к тождественному неравенству. Тогда рассматриваемое отношение не превышает $5{,}75$. Равенство достигается, когда все приведённые выше оценки также обращаются в равенство. То есть $n = 1$, $S_1 = 1$, $A = 9$, $B = 1$. Значит, в первом наборе два числа — это 91 и 1. Тогда во втором наборе будут числа 5 и 11. Сумма первого набора 92, а сумма второго 16. Действительно, отношение суммы первого набора к сумме второго набора равняется $5{,}75$.

Ответ:

• [а)]а) Да
• [б)]б) Да
• [в)]в) $5{,}75$