Показательные функции

Решение 1:

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(3) = 5$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^3 + b = 5 \end{cases}$$ Вычитаем первое уравнение из второго: $$a^3 - a^2 = 4$$ Решаем уравнение: $$a^3 - a^2 - 4 = 0$$ Подбором находим корень $a = 2$. Проверяем: $$8 - 4 - 4 = 0$$ Таким образом, $a = 2$. Подставляем в первое уравнение: $$4 + b = 1 \Rightarrow b = -3$$ Функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Решаем уравнение $f(x) = 29$: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow x = 5$$

Решение 2:

Множество значений функции $f(x) = a^x + b$ - интервал $(b; +\infty)$. Из графика видно, что минимальное значение функции стремится к -3, следовательно $b = -3$.

Используя точку $f(2) = 1$: $$a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (a > 0)$$ Проверяем по второй точке: $$2^3 - 3 = 8 - 3 = 5 \quad \text{совпадает с } f(3) = 5$$ Таким образом, функция определена верно. Решаем уравнение: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим точку, где функция проходит через известные координаты. Пусть $f(2) = 4$, тогда: $$a^2 = 4$$ Решаем уравнение относительно $a$. Поскольку основание степени $a$ должно быть положительным ($a > 0$), получаем: $$a = \sqrt{4} = 2$$ Теперь, зная основание, решаем уравнение $f(x) = 32$: $$2^x = 32$$ Представляем 32 как степень двойки: $$32 = 2^5$$ Следовательно: $$2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим известную точку: $f(-1) = 2$. Подставляем в уравнение функции: $$a^{-1} = 2$$ Перепишем уравнение: $$\frac{1}{a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x$. Находим $f(4)$: $$f(4) = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16} = 0,0625$$

Из графика находим две известные точки: $$f(-3) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = 4$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} 1 = a^{-3 + b}, \\ 4 = a^{1 + b} \end{cases}$$ Решаем первое уравнение: $$a^{-3 + b} = 1 \Rightarrow -3 + b = 0 \Rightarrow b = 3$$ Подставляем $b = 3$ во второе уравнение: $$4 = a^{1 + 3} \Rightarrow a^4 = 4$$ Извлекаем корень (учитывая, что $a > 0$): $$a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$ Теперь функция имеет вид: $$f(x) = (\sqrt{2})^{x + 3}$$ Находим $f(-7)$: $$f(-7) = (\sqrt{2})^{-7 + 3} = (\sqrt{2})^{-4} = \frac{1}{(\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Из графика находим две известные точки: $$f(-3) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = 4$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} 1 = a^{-3 + b}, \\ 4 = a^{1 + b} \end{cases}$$ Решаем первое уравнение: $$a^{-3 + b} = 1 \Rightarrow -3 + b = 0 \Rightarrow b = 3$$ Подставляем $b = 3$ во второе уравнение: $$4 = a^{1 + 3} \Rightarrow a^4 = 4$$ Извлекаем корень (учитывая, что $a > 0$): $$a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$ Теперь функция имеет вид: $$f(x) = (\sqrt{2})^{x + 3}$$ Решаем уравнение $f(x) = 16$: $$(\sqrt{2})^{x + 3} = 16$$ Представляем 16 как степень $\sqrt{2}$: $$16 = 2^4 = (\sqrt{2})^8$$ Таким образом: $$(\sqrt{2})^{x + 3} = (\sqrt{2})^8 \Rightarrow x + 3 = 8 \Rightarrow x = 5$$