Показательные функции

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(1) = -1$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$ Вычитаем второе уравнение из первого: $$a^2 - a = 2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Так как показательная функция определена при $a > 0$, выбираем $a = 2$.

Подставляем $a = 2$ во второе уравнение системы: $$2 + b = -1 \Rightarrow b = -3$$ Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Находим $f(6)$: $$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Решение 1:

Из графика находим две известные точки: $$f(2) = 1 \quad \text{и} \quad f(3) = 5$$ Подставляем эти значения в уравнение функции: $$\begin{cases} a^2 + b = 1, \\ a^3 + b = 5 \end{cases}$$ Вычитаем первое уравнение из второго: $$a^3 - a^2 = 4$$ Решаем уравнение: $$a^3 - a^2 - 4 = 0$$ Подбором находим корень $a = 2$. Проверяем: $$8 - 4 - 4 = 0$$ Таким образом, $a = 2$. Подставляем в первое уравнение: $$4 + b = 1 \Rightarrow b = -3$$ Функция имеет вид: $$f(x) = 2^x - 3$$ Решаем уравнение $f(x) = 29$: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow x = 5$$

Решение 2:

Множество значений функции $f(x) = a^x + b$ - интервал $(b; +\infty)$. Из графика видно, что минимальное значение функции стремится к -3, следовательно $b = -3$.

Используя точку $f(2) = 1$: $$a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \quad (a > 0)$$ Проверяем по второй точке: $$2^3 - 3 = 8 - 3 = 5 \quad \text{совпадает с } f(3) = 5$$ Таким образом, функция определена верно. Решаем уравнение: $$2^x - 3 = 29 \Rightarrow x = 5$$

Из графика находим известную точку: $f(-1) = 4$. Подставляем в уравнение функции: $$a^{-1} = 4$$ Перепишем уравнение: $$\frac{1}{a} = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x$. Находим $f(-2)$: $$f(-2) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = 16$$

По графику функции $f(x)=a^x$ определяем, что $f(1)=5$, то есть $a^1=5$, $a=5$. Значит, $f(x)=5^x$. Найдем $f(2): f(2)=5^2=25$.