Показательные неравенства заменой

Преобразуем неравенство: $$2\left(50^x+8^x\right)>20^x+3\cdot125^x$$ $$2\cdot\left(2^x\cdot5^{2x}\right)+2\cdot2^{3x}-2^{2x}\cdot5^x-3\cdot5^{3x}>0$$

Разделим обе части неравенства на $2^{3x}>0$: $$2\cdot\frac{5^{2x}}{2^{2x}}+2-\frac{5^x}{2^x}-3\cdot\frac{5^{3x}}{2^{3x}}>0$$

Сделаем замену $t=\left(\frac{5}{2}\right)^x>0$. Тогда неравенство примет вид $$2t^2+2-t-3t^3>0$$ $$3t^3-2t^2+t-2<0$$ $$3t^3-3t^2+t^2+t-2<0$$ $$3t^2(t-1)+(t-1)(t+2)<0$$ $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$

Рассмотрим уравнение $3t^2+t+2=0$. Найдем его дискриминант: $$D=1^2-4\cdot3\cdot2=1-24=-23<0$$

Значит, уравнение $3t^2+t+2=0$ не имеет решений. Тогда так как коэффициент при $x^2$ больше 0, то при любом $x$ верно, что $3t^2+t+2>0$. Значит, $$(t-1)(3t^2+t+2)<0$$ $$t-1<0$$ $$t<1$$

Сделаем обратную замену: $$t<1$$ $$\left(\frac{5}{2}\right)^x<1$$ $$x<0$$

Ответ: $$(-\infty;0)$$

Решение:

$$2^x + \frac{4\cdot2^x}{2^x -4} + \frac{2^{2x} + 7\cdot2^x + 20}{2^{2x} - 12\cdot2^x + 32} \leq 1$$

Пусть $2^x = t > 0$

Имеем: $$t + \frac{4t}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32} \leq 1$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{t -4} + \frac{t^2 + 7t + 20}{(t - 4)(t - 8)} - 1 \leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{t^2 + 7t + 20 - t^2 + 12t - 32}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t(t - 8)}{(t -4)(t - 8)} + \frac{19t - 12}{(t - 4)(t - 8)}\leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -32t + 19t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$t + \frac{4t^2 -13t - 12}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{t(t - 4)(t - 8) + (t - 4)(4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t^2 - 8t + 4t + 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{(t - 4)(t - 1)(t - 3)}{(t -4)(t - 8)} \leq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 3\\ t < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} t > 4\\ t < 8 \end{cases}\\ &t \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2^x \geq 3\\ 2^x < 4 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2^x > 4\\ 2^x < 8 \end{cases}\\ &2^x \leq 1 \\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq \log_23\\ x < 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x > 2\\ x < 3 \end{cases}\\ &x \leq 0 \\ \end{aligned}\right.$$

Ответ: $(-\infty; 0] \cup [\log_23; 2) \cup (2; 3)$}

Решение:

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда: $$8^{x+\frac{2}{3}} = 2^{3x+2} = 4t^3,\quad 4^{x+\frac{1}{2}} = 2^{2x+1} = 2t^2,\quad 2^{x+1} = 2t.$$

Подставим в неравенство: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Разложим знаменатель: $$2t^2 - 9t + 4 = (2t-1)(t-4).$$

Выполним деление числителя на знаменатель с остатком: $$\frac{4t^3 - 18t^2 + 13t - 13}{2t^2 - 9t + 4} = 2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)}.$$

Тогда неравенство принимает вид: $$2t + \frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} \leq 2t - \frac{1}{t-2} + \frac{3}{2t-1}.$$

Сокращаем $2t$ и переносим всё в левую часть: $$\frac{5t - 13}{(2t-1)(t-4)} + \frac{1}{t-2} - \frac{3}{2t-1} \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю $(2t-1)(t-4)(t-2)$: $$\frac{(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Упрощаем числитель: $$(5t-13)(t-2) + (2t-1)(t-4) - 3(t-4)(t-2) = 2(2t-1)(t-3).$$

Получаем: $$\frac{2(2t-1)(t-3)}{(2t-1)(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Сокращаем на $2t-1$ (при $t \neq \frac12$): $$\frac{2(t-3)}{(t-4)(t-2)} \leq 0.$$

Так как $2 > 0$, знак определяется дробью: $$\frac{t-3}{(t-2)(t-4)} \leq 0.$$

Решаем методом интервалов с учётом $t > 0$ и $t \neq \frac12$.

Получаем: $$t \in (0; \tfrac12) \cup (\tfrac12; 2) \cup [3; 4).$$

Возвращаемся к $2^x = t$: $$\begin{cases} 0 < t < \frac12 \quad\Rightarrow\quad x < -1, \\ \frac12 < t < 2 \quad\Rightarrow\quad -1 < x < 1, \\ 3 \le t < 4 \quad\Rightarrow\quad \log_2 3 \le x < 2. \end{cases}$$

$$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2).$$

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup [\log_2 3; 2)$.