Прочее

Преобразуем данную в условии формулу:

$$v=\sqrt{2la}\iff v^2=2la\iff l=\frac{v^2}{2a}.$$

Подставим значения и вычислим:

$$l=\frac{100^2}{2\cdot 5000}=\frac{10000}{2\cdot 5000}=1\ \text{км}.$$

Пусть $x$ — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна $x + 1$, а против течения — $x - 1$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $18 - 10 - 2,5 = 5{,}5$ часов. Составим уравнение:

$$\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 5{,}5 \Leftrightarrow \frac{30(x - 1) + 30(x + 1)}{x^2 - 1} = 5{,}5 \Leftrightarrow \frac{60x}{x^2 - 1} = 5{,}5$$ $$5{,}5x^2 - 60x - 5{,}5 = 0 \Leftrightarrow 11x^2 - 120x - 11 = 0$$ $$D = 14400 + 484 = 14884 \Rightarrow x = \frac{120 \pm 122}{22}$$ $$x = 11, \quad x = -\frac{2}{22}$$

Скорость положительна: $x = 11$.

Из рисунка найдем точки, принадлежащие графикам функции. Точка $(1;-4)$ принадлежит $g(x)=ax+b$, точка $(2;1)$ — $f(x)=\frac{k}{x}$.

Подставим точку $( -4; a+b)$:

$$\begin{cases} -4=a+b\\ 1=2a+b \end{cases}$$

$$\begin{cases} b=-4-a\\ 1=2a-4-a \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-9\\ 5=a. \end{cases}$$

Получаем $g(x)=5x-9$.

$$1=\frac{k}{2}$$

$$k=2$$

$$f(x)=\frac{2}{x}.$$

Приравняем функции для нахождения координат точки касания.

$$\frac{2}{x}=5x-9$$

$$5x^2-9x-2=0$$

$$D=81+40=121$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 11}{10}$$

$$x_1=2,\; x_2=-\frac{1}{5} \text{ является абсциссой точки B.}$$

1. Найдем производную функции: $$y' = (x^3 - 48x + 17)' = 3x^2 - 48$$

2. Найдем нули производной: $$3x^2 - 48 = 0 \Rightarrow x = \pm 4$$

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = 4$.

а) Используя нечетность синуса и формулу приведения, получаем:

$$\sin(x-\pi)=-\sin(\pi-x)=-\sin x.$$

Применим формулу $1-\cos 2x=2\sin^2 x$:

$$2\sin^2x-\sqrt2\sin x+2\sin x-\sqrt2=0 \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-\sqrt2)+(2\sin x-\sqrt2)=0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (2\sin x-\sqrt2)(\sin x+1)=0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2},\\ \sin x=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\\ x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$, концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта а).

Следовательно, на отрезке $[-\pi;\frac{\pi}{2}]$ лежат точки $-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{4}$.

Ответ: а) $\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k:\ k\in\mathbb Z\right\}$; б) $-\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{\pi}{4}$.