Прочее

Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 4 или 7: если взять три или шесть других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 4 или 7, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разности любых двух чисел кратны 4 и 7, а потому и их наименьшему общему кратному — 28. Значит, все числа дают одинаковые остатки от деления на 28. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма четырех или семи из них будет кратна 4 или 7.

а) Число 563 при делении на 28 дает остаток 3, а число 1417 — остаток 17, поэтому они не подходят.

б) Заметим, что квадраты четных чисел кратны 4, а квадраты нечетных представимы в виде $(4x \pm 1)^2 = 16x^2 \pm 8x + 1$. Следовательно, $n^2$ не может при делении на 4 давать остаток 3, а именно такой остаток дает число 563.

в) Нужно, чтобы $n^2$ и $n$ давали одинаковые остатки при делении на 28, то есть чтобы $n^2 - n = n(n-1)$ было кратно 28. Число 1 является наименьшим натуральным числом и удовлетворяет этому условию. В качестве остальных девяти чисел можно взять числа $$1,\qquad 29 = 28 \cdot 1 + 1,\qquad 57 = 28 \cdot 2 + 1,\qquad 85 = 28 \cdot 3 + 1 \qquad \ldots,$$ дающие при делении на 28 остаток 1.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.

Решение:

$$7x - 3x = 21 + 15$$

$$4x = 36$$

$$x = 9$$

$$12 + 9 = 2x + 5x$$

$$21 = 7x$$

$$x = 3$$

$$11x - 17 = 4x + 31$$

$$11x - 4x = 31 + 17$$

$$7x = 48$$

$$x = \frac{48}{7} = 6 \frac{6}{7}$$

Ответ: $6 \frac{6}{7}$

$$4x - 12 + 7 = 2x + 1$$

$$4x - 5 = 2x + 1$$

$$4x - 2x = 1 + 5$$

$$2x = 6$$

$$x = 3$$