Произведение множителей равное нулю

Данное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} 2a - x^2 + 3x = 0\\ x \mathrel{=}\llap{/\,} a^2 \end{cases}$$

Числитель дроби $2a - x^2 + 3x$ является квадратичной функией. Уравнение $2a - x^2 + 3x = 0$ имет ровно 2 различных корня $\Leftrightarrow$ $D > 0$.

$$D = 9 + 8a > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{9}{8}$$

Найдём значения параметра $a$ при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя. Для этого подставим в числитель $x = a^2$.

$$a^4 - 3a^2 - 2a \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - 3a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - a - 2a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a(a^2 - 1) + 2(a - 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a(a - 1)(a + 1) - 2(a + 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a + 1)(a^2 - a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a + 1)^2(a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$

$$a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, a \mathrel{=}\llap{/\,} -1, a \mathrel{=}\llap{/\,} 2$$

С учётом $D > -\frac{9}{8}$:

$$a \in \left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$

$$\left(*\right) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0\\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

$$\ln(3a - x)\ln(2x + 2a - 5) - \ln(3a - x)\ln(x - a) = 0$$ $$\ln(3a - x)(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &3a - x = 1 \\ &2x + 2a - 5 = x - a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 3a - 1 \\ &x = 5 - 3a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

$$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0\\ (3a - 1) - a > 0\\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0\\ 2a - 1 > 0\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{7}{8}\\ a > \tfrac{1}{2}\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$, $x = 3a - 1$ – является корнем.

Подставим второй корень:

$$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0\\ (5 - 3a) - a > 0\\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0\\ 5 - 4a > 0\\ 5 \geq 3a \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{5}{6}\\ a < \tfrac{5}{4}\\ \tfrac{5}{3} \geq a \geq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$, $x = 5 - 3a$ – является корнем.

Найдем значения $a$, при которых корни совпадают.

$$3a - 1 = 5 - 3a \Leftrightarrow a = 1$$

В итоге, исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 2]$ при $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

Ответ: $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

Данное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} x^2 - a(a - 1)x - a^3 = 0 (1)\\ 3 + 2x - x^2 > 0 (2) \end{cases}$$

По условию задачи нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня. То есть дискриминант первого уравнения системы должен быть строго положительным.

Кроме того, полученные корни должны удовлетворять второму условию системы.

Для начала определим какому интервалу должны принадлежать корни числителя (1 уравнения системы):

$$x^2 - 2x - 3 < 0$$ $$D = 4 + 4\cdot 3 = 16 = 4^2$$ $$x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 3, \quad x = -1$$ $$x \in (-1; 3)$$

Теперь разберёмся с уравнением: $$D > 0 \Leftrightarrow a^2(a - 1)^2 - 4\cdot(-a^3) > 0 \Leftrightarrow a^2((a - 1)^2 + 4a) > 0 \Leftrightarrow a^2(a^2 - 2a + 1 + 4a) > 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a^2(a^2 +2a + 1) > 0 \Leftrightarrow a^2(a + 1)^2 > 0$$ $$a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1$$

Теперь найдём корни: $$x_1 = \frac{-(-a(a - 1)) + \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-a(a - 1)) - \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2}$$

Проверим необходимые условия для каждого корня: $$-1 <x_1 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a + |a(a + 1)| < 6$$ $$-1 <x_2 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a - |a(a + 1)| < 6$$

Для этих неравенств одновременно будем рассматривать случаи раскрытия модуля:

1. $a(a + 1) \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; -1] \cup [0; + \infty)$: $$\begin{cases} -2 <a^2 - a + a^2 + a < 6\\ -2 < a^2 - a -a^2 - a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 <2a^2 < 6\\ -2 < -2a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 < 3 \\ 1 > a > -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (a - \sqrt3)(a + \sqrt3) < 0\\ 1 > a > -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\sqrt3; \sqrt3)\\ a \in (-3; 1) \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1)$$

Учитывая рассматриваемый нами промежуток для параметра $a$, получаем: $$a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1)$$

1. $a(a + 1) < 0 \Rightarrow a \in (-1; 0)$: $$\begin{cases} -2 <a^2 - a - a^2 - a < 6\\ -2 < a^2 - a + a^2 + a < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < -2a < 6\\ -2 < 2a^2 < 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > a > -3\\ -2 < 2a^2 < 6 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-3; 1)\\ a^2 < 3 \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1)$$

Учитывая рассматриваемый промежуток для параметра $a \in (-1; 0)$, получаем: $$a \in (-1; 0)$$

Объединяя эти два случая и ограничения $a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1$, получаем: $$\begin{cases} a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\ a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\ \left[ \begin{aligned} &a \in (-1; 0)\\ &a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1) \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\ a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\ a \in (-\sqrt3; 1) \end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1)$$

Ответ: $(-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1)$

$$(*) \begin{cases} x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0 \\ 7x - 4 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{7x - 4} = 0 \\ &\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{7x - 4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \in [0; 4]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{4}{7}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\cdot\frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{625}{49} > a^2 \Rightarrow a \in \left(-\frac{25}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-4)^2 = a^2$$ $$\Rightarrow x = 4 \pm a$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = 4 - a$: $$\begin{cases} 4 - a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 - a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq \frac{24}{7} \\ 0 \leq a \leq 4 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[0; \frac{24}{7}\right]$$

2. Для $x = 4 + a$: $$\begin{cases} 4 + a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 + a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq -\frac{24}{7} \\ -4 \leq a \leq 0 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{24}{7}; 0\right]$$

Проверим совпадение корней: $$4 - a = 4 + a \Rightarrow a = 0$$ $$4 - a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = \frac{24}{7}$$ $$4 + a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = -\frac{24}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$ при: $$a \in \left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$

$$(*) \quad 2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2$$

Исходное уравнение равносильно: $$\left[\begin{aligned} &2 - x = 0\\ &4^x - 3\cdot2^x + 3a - a^2 = 0 \end{aligned}\right.$$

Исходное уравнение имеет как минимум 1 корень $x = 2$ при любом значении параметра $a$.

Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно 2 различных решения, необходимо чтобы уравнение $4^x - 3\cdot2^x + 3a - a^2 = 0$ имело ровно 1 решение.

Сделаем замену $2^x = t$ и проанализируем её:

При $t > 0$ – 1 решение $x$.

При $t = 0$ – 0 решений $x$.

При $t < 0 $ – 0 решений $x$.

С учётом ограничения $(*)$: $$x \leq 2 \Rightarrow t \leq 4$$

Так как при $t = 4$ уравнение будет иметь ещё один корень $x = 2$, то получится всего 1 решение $x = 2$. Значит, только 1 корень $t$ должен принадлежать промежутку $(0; 4)$.

$$t^2 - 3t + 3a - a^2 = 0$$

Чтобы уравнение относительно $t$ имело ровно 1 положительный корень, меньший $4$, необходимо выполнение следующих условий:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} f(0) > 0\\ f(4) < 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} f(0) \leq 0\\ f(4) > 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} D = 0\\ t_{\text{в}} >0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 3a - a^2 > 0\\ 16 - 12 + 3a - a^2 <0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 3a - a^2 \leq 0\\ 16 - 12 + 3a - a^2 > 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} 9 - 12a + 4a^2 = 0\\ 1,5 >0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a(3 - a) > 0\\ a^2 -3a -4 >0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a(3a - a) \leq 0\\ a^2 -3a -4 < 0 \end{cases} \\ &9 - 12a + 4a^2 = 0\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \in (0; 3)\\ a \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty) \end{cases}\\ &\begin{cases} a \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\\ a \in (-1; 4) \end{cases} \\ &(2a - 3)^2 = 0 \end{aligned}\right.$$

Первая система не имеет пересечений.

Вторая даёт решение: $$a \in (-1; 0] \cup[3; 4)$$

Третье условие даёт $a = 1,5$.

Объединяя решения, получаем ответ: $$a \in (-1; 0] \cup \{1,5\} \cup [3; 4)$$

Ответ: $(-1; 0] \cup \{1,5\} \cup [3; 4)$