Прямоугольный параллелепипед

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V = a \cdot b \cdot c.$$

Подставим известные значения: $$2 \cdot 6 \cdot c = 48 \Rightarrow 12c = 48 \Rightarrow c = \frac{48}{12} = 4.$$

Объём параллелепипеда связан с площадью грани и перпендикулярным ребром формулой: $$V = S \cdot h,$$ где $S$ — площадь грани, $h$ — перпендикулярное ребро.

Найдём ребро: $$h = \frac{V}{S} = \frac{60}{12} = 5.$$

Используем формулу объёма: $$V = S \cdot h,$$ где $h = 3$ — заданное ребро, $S$ — искомая площадь грани.

Найдём площадь: $$S = \frac{V}{h} = \frac{24}{3} = 8.$$

Объём параллелепипеда вычисляется по формуле: $$V = S \cdot h,$$ где $S = 12$ — площадь грани, $h = 4$ — перпендикулярное ребро.

Подставляем значения: $$V = 12 \cdot 4 = 48.$$

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна $x$. Тогда площадь поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $$S = 2(ab + bc + ac),$$ где $a = 1$, $b = 2$, $c = x$.

Подставляем известные значения: $$S = 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot x + 1 \cdot x) = 2(2 + 2x + x) = 2(2 + 3x) = 4 + 6x.$$

По условию площадь поверхности равна 16: $$4 + 6x = 16 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2.$$

Теперь найдём диагональ параллелепипеда по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$