Прямоугольный параллелепипед

1. Размеры:

• Радиус цилиндра $r=1$ $\Rightarrow$ сторона квадрата $2r=2$
• Высота цилиндра $h=1$ = высоте параллелепипеда

1. Объем: $$V = 2 \times 2 \times 1 = 4$$

1. Так как цилиндр вписан в параллелепипед: $$a = b = 2r = 8$$

2. Из объема параллелепипеда найдем высоту: $$V = a \cdot b \cdot h = 16$$ $$8 \cdot 8 \cdot h = 16$$ $$h = \frac{16}{64} = 0.25$$

Объёмы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе. Все стороны отсечённого параллелепипеда в два раза меньше сторон параллелепипеда, который его содержит. Значит коэффициент их подобия равен $\frac{1}{2}$.

Найдём объём большого параллелепипеда $V_1$: $$V_1 = 5\cdot6\cdot8$$

Найдём объём отсечённого параллелепипеда:

$$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow V_2 = \frac{V_1}{8}$$ $$V_2 = \frac{5\cdot6\cdot8}{8} = 30$$

Посчитаем объёмы верхнего и нижнего параллелепипедов.

V_1:

Стороны основания верхнего параллелепипеда равны 2 и3, а высота равна 3.

$$V_1 = 2\cdot3\cdot3 = 18$$

V_2:

Стороны основания верхнего параллелепипеда равны 4 и 5, а высота равна 6 - 3 = 3.

$$V_2 = 4\cdot5\cdot3 = 60$$ $$V = V_1 + V_2 = 60 + 18 = 78$$

В прямоугольнике $AA_1D_1D$ отрезок $AD_1$ является диагональю, $A_1D_1=AD$. По теореме Пифагора

$$AD_1=\sqrt{AA_1^2+A_1D_1^2}=\sqrt{225+64}=17.$$

Прямоугольный треугольник $ABD_1$ равнобедренный: $AB=AD_1=17$, значит, его острые углы равны $45^\circ$.