Прямоугольный параллелепипед

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $$S = 2(ab + bc + ac),$$ где $a, b, c$ — длины рёбер, выходящих из одной вершины.

Подставляем известные значения: $$S = 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3) = 2(2 + 6 + 3) = 2 \cdot 11 = 22.$$

1. Пусть грань-квадрат имеет сторону $a$. Тогда диагональ этой грани равна $a\sqrt{2}$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда ($\sqrt{8}$), диагональю грани ($a\sqrt{2}$) и третьим ребром ($h$). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани равен $45^\circ$, поэтому: $$h = \sqrt{8} \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2.$$

3. По теореме Пифагора: $$(\sqrt{8})^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2 \Rightarrow 8 = 2a^2 + 4 \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}.$$

4. Объём параллелепипеда: $$V = a \cdot a \cdot h = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4.$$

1. Объём параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot c = 36.$$ Известны два ребра: $a = 2$, $b = 3$. Найдём третье ребро: $$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{36}{6} = 6.$$

2. Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7.$$

1. Диагональ параллелепипеда: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 6.$$ Подставляем известные значения: $$\sqrt{2^2 + 4^2 + c^2} = 6 \Rightarrow \sqrt{4 + 16 + c^2} = 6 \Rightarrow 20 + c^2 = 36 \Rightarrow c^2 = 16 \Rightarrow c = 4.$$

2. Объём параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot c = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32.$$

1. Найдём объём прямоугольного параллелепипеда: $$V_{\text{параллелепипеда}} = a \cdot b \cdot c = 4 \cdot 6 \cdot 9 = 216.$$

2. По условию объём куба равен объёму параллелепипеда: $$V_{\text{куба}} = x^3 = 216.$$

3. Найдём ребро куба: $$x = \sqrt[3]{216} = 6.$$