Степенные или иррациональные функции

Функция определена при всех $x\ge 0$. Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

$$y'=\left(x^{\frac{3}{2}}-3x+17\right)'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3.$$

Найдем нули производной:

$$y'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=0.$$

Решим полученное уравнение:

$$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=0$$

$$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}=3$$

$$\sqrt{x}=2$$

$$x=4.$$

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

При $x\in(0;4)$ производная отрицательна, то есть функция $y=y(x)$ убывает. При $x\in(4;+\infty)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x=4$ является точкой минимума.