Степенные или иррациональные функции

ОДЗ функции $x \ge 0$.

Найдём производную функции:

$$y' = (12)' + 9(x)' - 2\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'$$

$$y' = 9 - 2\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$

$$y' = 9 - 3\sqrt{x}$$

Найдём экстремумы функции:

$$9 - 3\sqrt{x} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{x} = 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = 9$$

Воспользуемся методом интервалов:

Таким образом точка максимума функции $x = 9$. Так как это точка принадлежит указанному отрезку, то $y(9)$ — наибольшее значение исходной функции:

$$y(9)=12+9\cdot 9-2\cdot 9\sqrt{9}=12+81-54=39$$

Найдём производную заданной функции:

$$y'=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$

Найденная производная обращается в нуль в точках $2$ и $-2$, из них на отрезке $[-11;\ -0{,}5]$ лежит только точка $-2$. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=-2$ заданная функция имеет максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке. Найдём это наибольшее значение:

$$y(-2)=-2-\frac{4}{-2}+14=-2-2+14=10.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=3x^2-147=3(x^2-49)=3(x+7)(x-7).$$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$$\begin{cases} 3(x+7)(x-7)=0,\\ 0\le x\le 8, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \quad 0\le x\le 8,\ x=7.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=7$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$$y(7)=7^3-147\cdot 7+19=343-1029+19=-667.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y' = 2(x+6)(x-10)+(x+6)^2\cdot 1=(x+6)(2x-20+x+6)=(x+6)(3x-14).$$

Производная обращается в нуль в точках $-6$ и $\frac{14}{3}$, заданному отрезку принадлежит число $-6$. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $-6$ функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

$$y(-6)=(-6+6)^2(-6-10)+8=8.$$

1. Найдём производную: $$y'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3.$$

2. Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x}=3$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4.$$

При переходе через точку $x= 4$ знак производной меняется с минуса на плюс, значит это точка минимума функции.