Степенные или иррациональные функции

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3x - 2x^{3/2}\right)' = 3 - 3\sqrt{x}$$

2. Найдём нули производной: $$3 - 3\sqrt{x} = 0 \Longleftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[0,1]$ и убывает на $[1,4]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 3 - 2 + 0 = 1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\dfrac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\right)' = -\sqrt{x} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 9$ и убывает при $x > 9$, поэтому $x = 9$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\dfrac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\right)' = -\sqrt{x} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[1,9]$ и убывает после $x=9$, поэтому наибольшее значение в точке $x=9$: $$y(9) = -\dfrac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(15 + 24x - 2x^{\frac{3}{2}}\right)' = 24 - 3x^{\frac{1}{2}} = 24 - 3\sqrt{x}$$

2. Найдём нули производной: $$24 - 3\sqrt{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 64$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 64$ и убывает при $x > 64$, поэтому $x = 64$ — точка максимума.

Найдём нули производной: $$y' = 3x^2 -108 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 36 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 6$$

Знак производной меняется с $+$ на $-$ проходя через точку $x = -6$, значит, $x = -6$ – точка максимума.