Треугольники

а)

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABC$ и $NMC$. Они равны по двум сторонам и углу между ними. (CM = BC, CN = AC)

Обозначим угол $CAB$ за $\alpha$, тогда:

$$\angle ACH = 90^\circ - \alpha$$

$$\angle CAB = \angle CNM$$

Учитывая, что треугольники $ABC$ и $NMC$ равны, из прямоугольного треугольника $FCN$ имеем:
$$\angle FCN = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \angle FCM = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$$
Значит:
$$\angle FCH = \angle FCM + \angle ACH = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$$

б) Рассмотрим треугольники $ACN$ и $CMB$. Из условия известно, что $CN = AC$ и $CM = BC$, значит эти треугольники равнобедренные. Отсюда имеем:

$$\angle LAM = \angle NAC = 45^\circ$$ $$\angle AML = \angle CMB = 45^\circ$$

Следовательно $\angle ALM = 90^\circ$. Получаем, что треугольник $ALM$ равнобедренный и прямоугольный, откуда: $$LM = \frac{\sqrt2}{2}AM = \frac{\sqrt2}{2}(AC - MC) = \frac{\sqrt2}{2}(AC - BC) = 2\sqrt2$$

Ответ: $2\sqrt2$

$a)$

Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. Угол $CC_1A$ по условию прямой ($CC_1$ высота), следовательно он опирается на диаметр окружности $AC$.

Тогда угол $AA_1C$ также является прямым, так как опирается на диаметр окружности $AC$. Значит, $AA_1$ является медианой и высотой в треугольнике $ABC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow$ треугольник $ABC$ является равнобедренным.

б) Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$. Они подобны по двум углам: $\angle CBA$ – общий, $\angle AA_1B = \angle CC_1B$. Составим пропорции: $$\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{4}$$

Рассмотрим треугольник $CC1B$. Точка $A_1$ – серидина гипотенузы $BC$. Значит, $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла. Тогда: $$A_1C_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow 2C_1A_1 = BC = 8$$ $$\frac{AB}{BC} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow AB = \frac{5\cdot BC}{4} = 10$$

Найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S_{ABC} = \frac{AA_1\cdot BC}{2}$

Найдём $AA_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$: $$AA_1 = \sqrt{(BA)^2 - (BA_1)^2} = \sqrt{100 - 16} = 2\sqrt{21}$$

Подставляем: $$S_{ABC} = \frac{2\sqrt{21}\cdot8}{2} = 8\sqrt{21}$$

Ответ: $8\sqrt{21}$

Решение

а)

В прямоугольном $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2=AB^2$$

В прямоугольном $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $$AD^2 + BD^2=AB^2$$

Из этих двух равенств получим, что $$AC^2 + BC^2=AD^2 + BD^2$$

Так как $AC$ — биссектриса, то

$$\angle DAC = \angle CAB$$

$$\angle DAC = \angle DBC, \quad \text{так как опираются на одну дугу} CD$$

Тогда $CD = CB$, как хорды, опирающиеся на равные дуги, отсюда $$AC^2 + CD^2=AD^2 + BD^2$$

б) Заметим, что $\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$, тогда точки $A, D, C, B$ лежат на одной окружности, при этом $AB$ - диаметр этой окружности.
Далее, $\angle BAC = \angle DBC$, так как опираются на одну дугу.
Обозначим $\angle BAC = \alpha$
$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$ (из $\triangle ABC$)
$\sin \alpha = \sin(90^\circ -\angle ABC)=\cos \angle ABC= \cfrac{3}{8}$
Найдем $\cos \alpha$ используя основное тригонометрическое тождество:

$$\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1- \left(\frac{3}{8}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$$

Теперь найдем $\tg \alpha$: $$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cfrac{\cfrac{3}{8}}{\cfrac{\sqrt{55}}{8}}= \frac{3}{\sqrt{55}}$$

В прямоугольном $\triangle ABC$: $$BC = \tg \alpha \cdot AC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC$$

В прямоугольном $\triangle BTC$: $$TC = \tg \alpha \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC = \frac{9}{55} \cdot AC$$

$$AT = AC - TC = \frac{46}{55}\cdot AC$$

Тогда $$\frac{AT}{TC} = \cfrac{\cfrac{46}{55}\cdot AC}{\cfrac{9}{55} \cdot AC} = \frac{46}{9}$$

Ответ:    $46:9$