Молекулярная Физика

Перегородка проницаема только для молекул гелия, поэтому в результате установления равновесия парциальное давление гелия в левой части будет равно парциальному давлению гелия в правой части. Давление газа можно вычислить по формуле: $$p = \nu \frac{RT}{V}$$

Парциальные давления гелия в левой и правой части одинаковы, одинаковы температуры и объёмы частей, следовательно, одинаковы и количества вещества гелия в левой и правой частях сосуда, то есть в левой и правой части сосуда будет содержаться по $0,5$ моль гелия.

Найдём связь концентрации и количества вещества: $$n = N/V = \nu N_A / V$$ То есть концентрация и количество вещества зависят прямо пропорционально друг от друга, также заметим, что чем больше количество вещества, тем больше и количество молекул.

Найдём количество вещества аргона: $$\nu_{\text{Ar}} = \frac{m_{\text{Ar}}}{\mu_{\text{Ar}}} = \frac{40\,\text{г}}{40\,\text{г}/\text{моль}} = 1\,\text{моль}$$

Используя полученное выше, рассмотрим данные в задании утверждения.

Концентрация гелия в два раза меньше концентрации аргона в правой части сосуда

1. Верно

Отношение давлений: $$\frac{p_{\text{п}}}{p_{\text{л}}} = \frac{\nu_{\text{г.п.}} + \nu_{\text{Ар}}}{\nu_{\text{г.л.}}} = \frac{0,5\,\text{моль} + 1\,\text{моль}}{0,5\,\text{моль}} = 3$$ где $\nu_{\text{г.п.}},\,\nu_{\text{г.л.}}$ — количество вещества гелия в правой части, количество вещества гелия в левой части соответственно.

1. Неверно

Количество вещества газов в правой части сосуда больше количества вещества газа в левой части сосуда, следовательно, в правой части сосуда общее число молекул газа больше, чем в левой части сосуда.

1. Неверно

Внутренняя энергия одномолекулярного идеального газа может быть вычислена по формуле: $$U = \frac{3}{2}\nu RT$$

Температура газов одинакова. Количество вещества гелия и аргона одинаковы, следовательно, внутренняя энергия гелия равна внутренней энергии аргона.

1. Верно

Найдём отношение конечного давления в правой части сосуда к начальному давлению в правой части сосуда: $$\frac{p_{к}}{p_{н}} = \frac{\nu_{\text{г.п.}} + \nu_{\text{Ар}}}{\nu_{\text{Ар}}} = \frac{0,5\,\text{моль} + 1\,\text{моль}}{1\,\text{моль}} = 1,5$$ 5) Неверно

1. Внутренняя энергия гелия в сосуде превышает внутреннюю энергию аргона. Поскольку и гелий, и аргон являются одноатомными газами, их внутреннюю энергию $U$ вычисляют по формуле: $$U = \frac{3}{2} \nu R T.$$ Температуры газов одинаковы: $T_1 = T_2 = T$. Количество вещества гелия $\nu_{01}$ (2 моль) в сосуде больше, чем аргона $\nu_{02}$ (1 моль). Следовательно, внутренняя энергия гелия $U_1$ больше, чем у аргона $U_2$. Утверждение 1 — верно.

2. Концентрации гелия и аргона в правой части сосуда одинаковы. Концентрация молекул газа определяется так: $$n = \frac{N}{V},$$ где $N$ — число молекул газа, $V$ — объём. Число молекул выражается через количество вещества: $$N = \nu N_A.$$ Для одинакового объёма, при равенстве количества вещества ($\nu_3 = \nu_2 = 1$ моль), концентрации будут совпадать. Утверждение 2 — верно.

3. В правой части сосуда молекул газа в два раза меньше, чем в левой. Из соотношений для давления и концентрации $$p = n k T, \qquad n = \frac{N}{V}$$ и с учетом равенства объёмов и температур, количество молекул гелия в обеих частях сосуда совпадает. Но в правой части дополнительно присутствует аргон. Следовательно, в правой части общее число молекул больше. Утверждение 3 — неверно.

4. Внутренняя энергия гелия в конечном состоянии больше, чем в начальном. Формула для внутренней энергии: $$U = \frac{3}{2} \nu R T.$$ Переход гелия из одной части сосуда в другую не меняет ни его общего количества, ни температуры, значит $U$ не меняется. Утверждение 4 — неверно.

5. Давление с двух сторон перегородки одинаково. Если рассматривать начальный момент, то давления: $$p_{01} = \nu_{01} R T_1 / V, \quad p_{02} = \nu_{02} R T_2 / V.$$ Из условия: $\nu_{01} = 2$ моль, $\nu_{02} = 1$ моль. $p_{01} > p_{02}$. В равновесно распределённой системе парциальные давления гелия равны, но в правой части дополнительно аргон. По закону Дальтона в правой части общее давление больше. Следовательно, в любой момент времени давления не равны. Утверждение 5 — неверно.

1. Верно. Так как поршень может свободно двигаться в цилиндре без трения, то при охлаждении поршень начнёт двигаться так, чтобы с обоих его концов давление было равным, следовательно по окончанию процесс давление будет равно атмосферному, как и в начала процесса.
2. Неверно. Так как по второму закону Ньютона условие равновесия для поршня без писка имеет вид $pS=p_aS$, а для поршня с песком $p'S=p_aS+mg$, очевидно что $p'>p$.
3. Верно. Так как было сказано в пункте 1 при медленном изменении температуры давление газа не меняется, то сила давления газа $F=pS$ не изменится.
4. Неверно. При медленном охлаждении газа поршень начнёт двигаться вниз из-за разницы в давлениях, следовательно объём газа уменьшится.
5. Верно. Так как при изотермическом сжатии внутренняя энергия газа не меняется, а из изменение количества теплоты происходит только за счёт работы внешних сил над газом, т.е. за отдаёт некоторое количество теплоты.

1. Верно. Так как для любого одноатомного идеального газа справедливо соотношение $\frac{pV}{T}=const$ следовательно минимальная температура достигается, когда произведение $pV$ минимально, что и достигается в состоянии 1.
2. Верно. Так как плотность $\rho=\frac{m}{V}$ и так как масса газа не менялась, а объём газа минимален в состоянии 1, то следовательно плотность неона максимальна в состоянии 1.
3. Неверно. Так как если записать соотношение $\frac{pV}{T}=const$ для конечного и начального состояния, мы получим, что температура газа увеличилась в 3 раза. теперь воспользуемся формулой для нахождения среднеквадратичной скорости молекул $\overline{v}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$, тогда получим что скорость молекул увеличилась в $\sqrt{3}$ раз.
4. Неверно. Так как процесс 1-2 является изобарным расширением, тогда справедливо соотношение $\frac{V}{T}=const$ и так как объём газа увеличился в 2 раза, то температура тоже увеличится в 2 раза.
5. Неверно. Так как процесс 2-3 является изохорным нагревом, то справедливо соотношение $\frac{p}{T}=const$, следовательно так как давление газа увеличилось в 1.5 раза, то абсолютная температура неона изохорно увеличилась в 1.5 раза.

1. Неверно. При плавном повышении температуры поршень, свободно двигающийся без трения, будет подниматься до тех пор, пока давление газа снова не скомпенсирует силу тяжести и атмосферное давление, действующие на поршень. В итоге давление гелия остаётся тем же.

2. Неверно. В состоянии равновесия выполняется соотношение $$pS = p_{\text{атм}}S + mg,$$ поэтому при увеличении массы поршня давление газа под ним возрастает.

3. Верно. При медленном изменении температуры давление гелия не меняется, следовательно, не изменяется и сила давления на поршень: $$F = pS = \text{const}.$$

4. Верно. В начальный момент равновесия давление снизу равно сумме атмосферного давления и давления от веса поршня, то есть: $$F = F_0 + mg, \qquad F = p \cdot S, \qquad F_0 = p_0 \cdot S.$$

$$p \cdot S = p_0 \cdot S + mg \;\;|\!:\; S$$

$$p = p_0 + \dfrac{mg}{S}.$$

1. Неверно. При изотермическом сжатии температура, а значит и внутренняя энергия идеального газа, остаётся постоянной: $$\;\; T = \text{const}, \qquad U = \dfrac{3}{2}\,\nu R T.$$