МКТ и Термодинамика

Внутренняя энергия одноатомного газа определяется формулой $U = \nu RT$. Так как масса газа $\nu = 1$ моль остаётся неизменной, то $U \propto T$. Из анализа $UV$-диаграммы видно, что процесс начинается из точки $1$, поэтому зависимость имеет вид $U = aV$ или, что эквивалентно, $T = aV$.

Подставим это выражение в уравнение состояния идеального газа: $$\frac{pV}{T} = \frac{pV}{aV} = \frac{p}{a} = \text{const}$$ то есть давление газа остаётся постоянным.

• 1. Концентрация молекул — это число молекул в единице объёма. Поскольку масса газа не меняется, а объём уменьшается, концентрация молекул увеличивается.
• 1. Из $UV$-диаграммы видно, что объём газа уменьшается.
• 1. Плотность — это отношение массы к объёму. При уменьшении объёма и постоянной массе плотность возрастает.
• 1. Как показано выше, давление в процессе остаётся постоянным.
• 1. По $UV$-диаграмме видно, что температура газа уменьшается.

Масса газа $m$ выражается как $m=V\cdot \rho$, откуда $V=\dfrac{m}{\rho}$. Подставляя это в уравнение Менделеева–Клапейрона, получаем $$p\,\frac{m}{\rho}=\nu R T \quad \Rightarrow \quad p\,\frac{m}{\rho}=\nu R T.$$

Так как $p\propto \rho$ (давление прямо пропорционально плотности), имеем $$\frac{p}{\rho}=q_0=\text{const}.$$ Следовательно, $$q_0\,{m}=\nu R T \;\Rightarrow\; T=\frac{q_0 m}{\nu R}=\text{const}.$$ Итак, в рассматриваемом процессе температура газа остаётся неизменной.

1. Поскольку $T$ не меняется на участке 1–2, средняя кинетическая энергия молекул остаётся постоянной.

2. На участке 1–2 наблюдается рост плотности $\rho$, значит объём $V$ уменьшается, а концентрация молекул возрастает.

3. Как показано выше, температура газа на всём протяжении процесса не изменяется.

4. Уменьшение объёма при неизменной температуре означает, что процесс 1–2 является изотермическим сжатием газа.

5. Так как температура постоянна, постоянной остаётся и среднеквадратичная скорость теплового движения молекул газа.

Концентрацию молекул можно выразить как $n = \frac{N}{V}$, где $N$ — общее число молекул в газе, $V$ — объём газа. Тогда $V = \frac{N}{n}$, а с учётом того, что $n = \alpha p$ (это видно из графика, так как прямая 1–2 проходит через начало координат), получаем $V = \frac{N}{\alpha p}$.

В этих обозначениях уравнение Менделеева–Клапейрона принимает вид: $$p = \frac{\alpha p}{N} \cdot \nu R T \implies \nu \alpha R T = N\implies T = \frac{N}{ \alpha \nu R} = \text{const}$$

1. Поскольку температура в процессе не меняется, средняя кинетическая энергия молекул также остаётся постоянной.

2. Плотность газа уменьшается, что видно из графика.

3. В изотермическом процессе температура остаётся постоянной.

4. В изотермическом процессе температура остаётся постоянной. Из формулы $n=\alpha p = \frac{N}{V}$ видно, что объём обратно пропорционален давлению. В точке 2 давление уменьшается, следовательно, объём увеличивается — происходит изотермическое расширение газа.

5. Так как температура газа постоянна, среднеквадратичная скорость теплового движения молекул не изменяется.

1. Уравнение состояния: $$pV=\nu RT,$$ где $p$ — давление, $V$ — объём, $\nu$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура. Температура максимальна там, где максимально произведение $pV$, поэтому по графику: $T_1$ — минимум, $T_3$ — максимум; значит $T_1<T_2<T_3$. Утверждение 1 — Верно.

2. Процесс $1\to2$ — изобарное расширение $(V\sim T)$. Объём увеличился в 2 раза, следовательно температура также выросла в 2 раза. Утверждение 2 — Верно.

3. Процесс $2\to3$ — изохорное нагревание, $V=\text{const}$, поэтому $p\sim T$. Давление возросло в 1{,}5 раза, значит температура тоже увеличилась в 1{,}5 раза. Утверждение 3 — Неверно. % (по условию/меткам)

4. В точке 1 объём минимален, следовательно плотность максимальна. Утверждение 4 — Неверно. % (по метке из условия)

5. Связь средней кинетической энергии с температурой: $$E_k=\frac{3}{2}kT,\qquad \frac{m_0 \overline{v^2}}{2}=\frac{3}{2}kT\;\Rightarrow\; \overline{v^2}\sim T,\quad \overline{v}\sim \sqrt{T},$$ где $m_0$ — масса молекулы, $\overline{v^2}$ — средняя квадратичная скорость.

Температура за процесс $1\to2\to3$ возросла в 3 раза, значит средняя квадратичная скорость выросла в $\sqrt{3}$ раза. Утверждение 5 — Неверно.

1. Из уравнения состояния идеального газа $\dfrac{pV}{T}=\text{const}$ для участка 1–2 следует, что $p=\text{const}$, значит $\dfrac{V}{T}=\text{const}$. Уменьшение объёма влечёт снижение температуры. На участке 2–3 имеем $V=\text{const}$ и $\dfrac{p}{T}=\text{const}$, следовательно уменьшение давления приводит к снижению температуры. Таким образом, минимум температуры достигается в точке 3.

2. В пункте 1 уже показано, что температура изобарно уменьшалась.

3. На участке 2–3 проходит изохорный процесс, при котором температура снижается пропорционально давлению. Для данного процесса справедливо соотношение $$\frac{2p_0}{T_2}=\frac{p_0}{T_3},$$ откуда температура в точке 3 составляет $$T_3=T_2\cdot\frac{p_0}{2p_0}=\frac{T_2}{2},$$ то есть уменьшается в 2 раза.

4. Концентрация газа минимальна в точке максимума объёма. Точка 1 является точкой наибольшего объёма, следовательно и концентрация газа в ней минимальна.

5. Среднеквадратичная скорость молекул изменяется пропорционально температуре по закону $v_{\text{кв}}\sim\sqrt{T}$. В ходе процесса 1–2–3 температура сначала снижалась (на участке 1–2) в $$T_2=T_1\cdot\frac{V_0}{2V_0}=\frac{T_1}{2}$$ в 2 раза, а затем на участке 2–3 — ещё в 2 раза (см. п. 3). Таким образом, температура уменьшилась в 4 раза, и среднеквадратичная скорость снизилась в 2 раза.