Расчетная задача. Механика и МКТ

1. Проекция ускорения является производной от скорости по времени. Тогда уравнение изменения ускорения будет иметь вид: $$a_x=v' t=-0{,}5\cdot 4\sin(4t)=-2\sin(4t).$$

2. Проекция скорости тела будет равна $30\ \text{см/с}=0{,}3\ \text{м/с}$ при условии $0{,}3=0{,}5\cos(4t)$, откуда $\cos(4t)=0{,}6$. Тогда: $$\sin(4t)=\sqrt{1-\cos^2(4t)}=\sqrt{1-0{,}6^2}=0{,}8.$$

3. Найдем проекцию ускорения в этот момент времени: $$a_x=-2\cdot 0{,}8=-1{,}6\ \text{м/с}^2.$$

Модуль ускорения $a=1{,}6\ \text{м/с}^2$.

Ответ: $a=1{,}6\ \text{м/с}^2$.

Запишем второй закон Ньютона для грузов $M$ и $m$: $$\vec{F}+\vec{T_1}+\vec{N}+M\vec{g}+\vec{F_{тр}}=M\vec{a_1}.$$ $$m\vec{g}+\vec{T_2}=m\vec{a_2}.$$

Так как нить нерастяжима, то $a_1=a_2=a$. Так как нить невесома и блок идеален: $T_1=T_2=T$. Спроецируем уравнения на оси $x$ и $y$: $$\begin{cases} x:\ F-F_{тр}-T=Ma\\ y:\ N=Mg\\ y:\ T-mg=ma\Rightarrow T=m(g+a) \end{cases}$$

Сила трения равна $$F_{тр}=\mu N=\mu Mg,$$ где $\mu$ — коэффициент трения. Тогда подставим формулу силы трения и силы натяжения нити и выразим искомую массу: $$F-\mu Mg-m(g+a)=Ma\Rightarrow m=\frac{F-(\mu g+a)M}{g+a}$$

Подставим численные значения $$m=\frac{10-1\cdot(0{,}2\cdot 10+2)}{10+2}=0{,}5\ \text{кг}.$$ Ответ: 0,5.

Так как движение равноускоренное, то вектор ускорения направлен по оси $OX$, а так как движение происходит в одном направлении, то пройденный путь совпадает по модулю с перемещением. Для удобства используем формулу для расчета пути в таком случае: $$S=\frac{v+v_0}{2}\cdot t.\qquad (1)$$

По условию нам известно, что $$\frac{v}{v_0}=3,$$ откуда получаем, что $v=3v_0$. Подставим это в (1): $$S=\frac{3v_0+v_0}{2}\cdot t \Rightarrow v_0=\frac{S}{2t}.$$

Конечная скорость тогда будет равна: $$v=\frac{3S}{2t}.$$

По определению ускорение тела $a$ равно: $$a=\frac{v-v_0}{t}.$$

Тогда легко определяем ускорение тела: $$a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{{\frac{3S}{2t}}-\frac{S}{2t}}{t}=\frac{S}{t^2}=\frac{20}{4}=5\ \text{м/с}^2.$$

Ответ: 5.