Электродинамика

Для решения задачи заметим, что частица разгоняется электрическим полем, а значит работа электрического поля равна изменению кинетической энергии иона: $$A=\Delta E_\text{к}\Rightarrow qU=\frac{mv^2}{2}\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$$ Далее так как частица движется в магнитном поле, то на неё будет действовать сила Лоренца $F_\text{Л}=Bqv\sin{\alpha}$, где угол $\alpha$ равен $90^\circ$, так как частица движется по окружности. Таким образом по второму закону Ньютона получаем: $$ma=F_\text{Л}\Rightarrow \frac{mv^2}{R}=Bqv\Rightarrow \frac{mv}{R}=Bq$$ Откуда можем выразить искомый модуль индукции магнитного поля: $$B=\frac{mv}{Rq}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}=\frac{1}{0.3} \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5 \cdot 10^{-25} \cdot 10^3}{3.2 \cdot 10^{-19}}} \approx 0.1 \, \text{Тл}.$$

Для решения задачи разберёмся с силами, действующими на тело, а именно на проводник будут действовать сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$, сила трения $\vec{F_\text{тр}}$ и сила Ампера $\vec{F_\text{А}}$. Изобразим все силы, действующие на проводник:

Тогда по второму закону Ньютона в проекции на каждую ось: $$Oy:\quad N-mg=0\Rightarrow N=mg$$ $$Ox:\quad F_\text{А}-F_\text{тр}=0$$ И учитывая, что $F_\text{тр}=\mu N$, и $F_\text{А}=BlI\sin{\alpha}$, где $\alpha=90^\circ$, получим: $$F_\text{А}=F_\text{тр}\Rightarrow BlI=\mu N \Rightarrow BlI=\mu mg$$ Откуда можем найти искомую индукцию магнитного поля: $$B = \frac{\mu mg}{Il} = \frac{0.3 \cdot 0.04 \cdot 10}{10 \cdot 0.6} = 0.02 \, \text{Тл}.$$

Для решения задачи заметим, что в проводнике, движущимся в магнитном поле, возникает ЭДС индукции $\xi_i$. Тогда по закону Ома в цепи возникает индукционный ток, сила которого равна $I=\frac{\xi_i}{R}$, и в проводнике будет направленна вправо.
Далее разберёмся с силами, действующими на проводник, а именно на проводник будет доставать сила Ампера модуль которой равен $F_\text{А}=IBl$, и по правилу левой руки направленна вверх, а также сила тяжести $mg$. Таким образом по второму закону Ньютона: $$F_\text{А}=mg\Rightarrow IBl=mg\Rightarrow \frac{\xi_iBl}{R}=mg\Rightarrow \xi_i=\frac{mgR}{Bl}$$ Далее так как ЭДС индукции будет равно напряжению на резисторе, а резистор подключён параллельно конденсатору поэтому напряжение на конденсаторе тоже будет равно ЭДС индукции. Энергия заряженного конденсатор может быть найдена по формуле: $$W=\frac{q\xi_i}{2}=\frac{qmgR}{2Bl}= \frac{8 \cdot 10^{-6} \cdot 40 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 0.4 \cdot 0.1} = 2 \cdot 10^{-7} \, \text{Дж} = 0.2 \, \text{мкДж}$$

Для решения заметим, что, по сути, рамку мы можем разбить на два параллельных участка, а именно на верхнюю и нежную часть, соответственно ток в каждой из этих частей будет равен половине тока $I$. Для того чтобы определить направление сил Ампера, воспользуемся правилом левой руки. Изобразим все токи и силы Ампера на рисунке:

Видим, что силы Ампера, действующие на боковые части рамки, компенсируют друг друга. Остаются только силы, действующие на верхнюю и нижнюю часть, а именно модуль силы Ампера для верхней части равен $F_\text{А1}=Bl\frac{I}{2}$, а на нижнюю $F_\text{А2}=Bl\frac{I}{2}$. Равнодействующая всех сил на рамку соответственно равна сумме сил Амера, действующие на верхнюю и нижнюю часть, и соответственно будет направленна вверх и равна по модулю: $$F_\text{А}=F_\text{А1}+F_\text{А2}=BlI$$ Откуда можем выразить искомый модуль вектора индукции магнитного поля: $$B = \frac{F_A}{Il} = \frac{80 \cdot 10^{-3} \, \text{Н}}{2 \, \text{А} \cdot 0.1 \, \text{м}} = 0.4 \, \text{Тл}.$$

Для решения задачи разберёмся с силами, действующими на стержень, а именно на тело действует сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила Ампера $\vec{F_\text{А}}$ со стороны магнитного поля, причём модуль силы Ампера равен $F_\text{А}=BIl\sin{\beta}$, где в нашем случае $\sin{\beta}=1$. Изобразим силы в виде сбоку:

Тогда по второму закон Ньютона: $$m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_\text{А}}$$ И в проекции на ось $Ox$ получим: $$ma=-mg\sin{\alpha}+F_\text{А}\cos{\alpha}=BIl\cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}$$ Откуда уже можем выразить искомое отношение массы стержня к его длине: $$\frac{m}{l} = \frac{IB \cos \alpha}{a + g \sin \alpha} = \frac{4 \cdot 0.2 \cdot \cos 30^\circ}{1.9 + 10 \cdot \sin 30^\circ} \approx 0.1 \, \text{кг/м}$$