Электродинамика

ЭДС индукции в движущемся проводнике в однородном магнитном поле определяется формулой: $$\mathcal{E} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

За малое время $\Delta t$: $$\Delta \Phi = B \Delta S,$$ При этом $$\Delta S = l\Delta x$$ где $\Delta x$ - перемещение за время $\Delta t$. То есть $$\Delta \Phi = B l \Delta x.$$

Следовательно, $$|\mathcal{E}| = \frac{B l \Delta x}{\Delta t} = B l v,$$ где $v$ — мгновенная скорость движения проводника.

Пусть проводник движется время $t$, в конечном положении имеет скорость $v_k$, а ЭДС равна $$|\mathcal{E}| = B l v_k.$$ Тогда $$v_k = \frac{|\mathcal{E}|}{B l}.$$

По формулам для равноускоренного движения: $$t = \frac{v_k}{a}, \qquad x = \frac{a t^2}{2} = \frac{v_k^2}{2a},$$

$$a = \frac{v_k^2}{2x}.$$

Таким образом, $$a = \frac{\mathcal{E}^2}{2 x B^2 l^2} = \frac{4}{2 \cdot 1 \cdot 0.25 \cdot 1} = 8 \ \text{м/с}^2.$$

Ответ: $a = 8 \ \text{м/с}^2$.

Оптическая сила глаза $D_1$, оптическая сила очков $D_2$. Пусть $f$ — расстояние от центра хрусталика до сетчатки, $d_1$ — расстояние до книги без очков, $d_2$ — с очками.

Тогда для чтения без очков: $$D_1=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f}.$$

Оптическая сила системы (очки + хрусталик) равна сумме: $$D_1+D_2=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f}.$$

Объединяя формулы: $$D_2=\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_1} =\frac{1}{0{,}25}-\frac{1}{0{,}5} =2\ \text{дптр}.$$

Ответ: $2$ дптр.

Рассмотрим ход лучей из одной точки А на дне бассейна. Вертикальный луч АВ не изменяет своего направления после прохождения границы раздела, остальные лучи испытывают преломление. При наблюдении из разных точек кажущаяся глубина имеет различные значения. В любом случае отношение действительной глубины h к кажущейся глубине h' определяется одной и той же формулой: $$\frac{h'}{h}=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}.$$

При наблюдении по вертикали вниз углы $\alpha$ и $\beta$ очень малы, они определяются расстоянием до поверхности воды и расстоянием между зрачками глаз. Для малых углов можно воспользоваться приближенным равенством синусов углов тангенсам углов: $$h'=\frac{\tg\alpha}{\tg\beta}h \approx \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}h \approx \frac{h}{n}\approx \frac{4}{1{,}33}\approx 3\ \text{м}.$$

Ответ: $3$ м.

Рассмотрим ход лучей, исходящих из точки $A$ на дне бассейна. Вертикальный луч $AB$ не изменяет своего направления после прохождения границы раздела, все остальные лучи испытывают преломление или отражаются от границы раздела.

Полное внутреннее отражение происходит начиная с такого значения угла падения $\alpha$, при котором угол преломления $\beta$ равен $90^\circ$. Следовательно, предельное значение угла $\alpha$, при котором свет выходит из воды, определяется условием $$\sin\alpha=\frac{1}{n}.$$

Из треугольника $ABC$ найдем радиус светового круга $BC$:

$$BC=AB\tg\alpha=\frac{AB}{\sqrt{n^2-1}}=\frac{3\ \text{м}}{\sqrt{1{,}33^2-1}}\approx 3{,}4\ \text{м}.$$

Ответ: $3{,}4$ м.

Определим амплитуду колебаний. При гармонических колебаниях амплитуда, максимальная скорость и циклическая частота связаны соотношением $$v_M=A\omega=A\sqrt{\frac{g}{l}}.$$ Отсюда $$A=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Амплитуда $A_1$ колебаний смещения изображения груза на экране, расположенном на расстоянии $b$ от плоскости тонкой линзы, пропорциональна амплитуде $A$ колебаний груза, движущегося на расстоянии $a$ от плоскости линзы, то есть $$A_1=A\frac{b}{a}.$$

Расстояние $a$ определяется по формуле тонкой линзы: $$\frac{1}{F}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},$$ откуда $$a=b\frac{F}{b-F}$$ и $$\frac{b}{a}=\frac{b}{F}-1.$$ Следовательно, $$A_1=A\frac{b}{a}=v_M\sqrt{\frac{l}{g}}\cdot(\frac{b}{F}-1) = 0,1\sqrt{\frac{2,5}{10}}\cdot(\frac{0,6}{0,2}-1) = 1.$$

Ответ: $1$ м.